Melhor resposta
No círculo unitário, a coordenada x é cos (x).
Pegue o limite quando x se aproxima de 90 graus. O que você vê é que a coordenada x se aproxima de 0 porque o raio se aproxima de uma linha perpendicular (portanto, não há componente x)
Pegue o limite do lado esquerdo e ele é o mesmo.
O triângulo naturalmente se quebra.
Aqui está uma imagem de ajuda:
Como você pode ver, a linha cinza (cosx) fica cada vez menor.
É isso. Cos (90) é 0. Isso é 90 graus e não radianos.
Se em radianos, é algo como −0,448073616129.
Resposta
Deixe-me dar mais um complexo resposta.
Vamos, \ frac {A} {2} = x.
Então, A = 2x
Temos,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Vamos usar a fórmula de Eulers,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Se nos lembrarmos desta fórmula, então podemos entender que,
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), pois apenas \ sin é uma função ímpar, f (-x) = – f ( x), e \ cos é par, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Então, terminamos com a fórmula.
Além disso, para \ sin,
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Onde i é a unidade imaginária . (i ^ 2 = -1)
Agora, vamos decorar a fórmula para \ cos (2x), (pelo plugin de x por 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Vamos começar a derivar nossa fórmula.
Começando com \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Expandindo, obtemos,
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Agora, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ vezes a ^ c = a ^ {b + c},
(Então, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Agora, vamos calcular \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Se subtrairmos \ sin ^ 2 (\ theta) de \ cos ^ 2 (\ theta), obtemos,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Cancelamos os menos, no denominador de \ sin ^ 2 (\ teta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Somando, podemos cancelar -2 + 2 a 0, depois disso obtemos,
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
que é a mesma fórmula para \ cos (2x) conforme discutimos antes. Assim provado.
Mas, temos outra coisa a fazer. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
que é a mesma fórmula para cos (A)
Então, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Obrigado por A2A