Melhor resposta
cot θ = 1 / tan θ
cot (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; undefined
Em matemática, qualquer número dividido por zero é indefinido.
Resposta
As questões matemáticas ficam muito mais fáceis quando você conhece a definição dos termos em questão . Como \ cot (x) é definido? Assim que soubermos disso, devemos ser capazes de obter uma resposta rapidamente. Você pode se surpreender ao saber que os matemáticos (em um esforço para que os termos sejam o mais gerais possível) não definem esta função geometricamente, nem a definem em termos de outras funções “trigonométricas”. Na verdade, eles definem como Isso usando uma representação de série.
Ou, para ser mais preciso, eles definem usando essa série para 0 x pi. Para x = 0, \ pi (e qualquer outro múltiplo inteiro de \ pi), a função não é definida. Eles então estendem a definição para todos os múltiplos não inteiros de \ pi observando que a função é periódica com período \ pi. Em outras palavras, \ forall x \ ne n \ pi (para qualquer n \ in \ mathbb Z), dizemos que \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). Isso nos permite avaliar a função de qualquer outro x no domínio. Assim, por exemplo:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
E como 0 000-318 \ pi pi, podemos usar nossa representação em série para avaliar \ cot (1000-318 \ pi) e, portanto, saber o valor de \ cot (1000).
Agora que entendemos a definição da função, aprendemos duas coisas. Primeiro, sabemos que SE houver uma solução, deve haver um número infinito de soluções, pois para qualquer solução que você encontrar, deve ser verdade que n \ pi mais do que essa solução também é uma solução para qualquer n \ in \ mathbb Z. , sabemos que encontrar uma solução significa encontrar um valor de x para o qual a série infinita é zero. Parece uma tarefa difícil.
Felizmente, podemos realmente mostrar que essa representação em série implica que para 0 pi, \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Portanto, quando \ cot (x) = 0, também deve ser verdade que \ cos (x) = 0. Isso não é uma grande vitória porque a função cosseno também é definida em termos de uma série infinita, mas é uma série muito mais fácil. E é uma função que a maioria das pessoas entende bem o suficiente para saber que o único valor de x entre zero e pi para o qual é igual a zero é \ frac \ pi 2. (Provar que o resultado da série é um pouco de trabalho que ganhei t entrar.)
Então, aprendemos que x = \ frac \ pi 2 é uma solução, e já mostramos que todo múltiplo inteiro de \ pi afastado dessa solução também é uma solução. Portanto, o conjunto de soluções deve ser:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {para algum} n \ in \ mathbb Z \}