Melhor resposta
É tentador escrever
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Então, podemos escrever
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Isso faz a soma:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Eu não gosto muito disso por alguns razões. Primeiro, ele ignora a questão de quantos valores \ sqrt {i} tem.
Definimos o radical aplicado a um número real como o valor principal, então y = \ sqrt {x} é uma função . O valor principal de uma raiz quadrada complexa é mais complexo (uma regra como o ângulo mínimo não negativo) e não funciona muito bem.
Minha opinião é que a melhor política é dizer que temos duas raízes quadradas . \ sqrt {i} é multivalorado, o mesmo que i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
O segundo problema que tenho com a formulação exponencial é o salto imediato para as coordenadas polares. Nós automaticamente tomamos uma rota tortuosa envolvendo funções transcendentais e seus inversos. A raiz quadrada de um número complexo não exige isso. Podemos verificar
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
onde precisamos de um \ textrm fora do padrão {sgn} (0) = + 1.
Temos a = 0, b = 1, portanto,
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Nenhuma função trigonométrica necessária. Da mesma forma, a = 0, b = -1 dá
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
A soma parece ter quatro valores possíveis:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Vamos calcular os valores de parênteses.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
então realmente temos quatro valores, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Podemos escrever isso como
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad para o inteiro k
Há uma outra questão a considerar. Às vezes, quando escrevemos expressões que parecem ser conjugadas, isso significa que, quando vários valores são considerados, a relação conjugada é mantida. Um exemplo é a cúbica deprimida:
x ^ 3 + 3px = 2q tem soluções
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Cada uma dessas raízes cúbicas tem três valores sobre os números complexos. Mas a própria cúbica tem apenas três soluções. Portanto, embora possamos ser tentados a interpretar essa expressão como nove valores diferentes, sabemos que ela significa apenas três. As duas raízes cúbicas devem ser conjugadas, portanto, devem ser emparelhadas como tal.
Nesta interpretação, estamos sempre adicionando conjugados para obtermos apenas as soluções reais:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} ou (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } que é \ pm \ sqrt {2}.
Finalmente, se interpretarmos o radical como valor principal, obtemos \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} no primeiro quadrante, e precisamos escolher entre o segundo e o quarto quadrante para o valor principal de \ sqrt {-i}. A regra do “ângulo menos positivo” sugere o segundo quadrante, \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} então
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Um pouco de confusão, todas essas diferentes interpretações.
Resposta
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega é a terceira raiz da unidade: z ^ 3 = 1.
As raízes desta equação são: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Temos: u ^ 3 = 2 + 2i e (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Então:
\; \; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {com} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {com} \; k \ in {0,1,2}
Então:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Obtemos:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ texto {ou} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3