Melhor resposta
Se você não está trollando, então presumo que você queira o valor exato de \ sin 38. (Por quê? Quem sabe.) Vou descrever como chegar a esse valor exato. Usamos duas afirmações. Se soubermos o valor exato de \ sin x, então podemos calcular o valor exato de \ sin nx para todos os inteiros n. Além disso, se sabemos o valor exato de \ sin x, podemos calcular o valor exato de \ sin \ frac {x} {3}.
O acima significa que, se encontrarmos \ sin 1, então poderíamos encontrar \ sin N para qualquer número inteiro N.
Portanto, provamos as afirmações:
Asserção 1 : Se sabemos o valor exato de \ sin x, então podemos encontrar o valor exato de \ sin nx, para o inteiro positivo n. (Seguem-se os valores negativos).
Prova : Usamos indução em n. Obviamente, a afirmação é verdadeira para n = 1. Antes de continuar, observe que o conhecimento de \ sinx implica conhecimento de \ cos x. Agora, \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x e pronto.
Asserção 2 : Se sabemos o valor exato de \ sin x, então podemos encontrar o valor exato de \ sin \ frac {x} {3}.
Prova : Esta é mais interessante. Para o argumento, seja \ sin \ frac {x} {3} = a. Agora \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} ou 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0 onde sabemos \ sin x. Como é uma cúbica, pode ser resolvido exatamente.
Conhecemos \ sin 36 e \ sin 30, então sabemos \ sin 6 e, portanto, \ sin 3 e finalmente \ sin 1.
Resposta
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8 ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a
sin (pi / 12) = 0,2588 = sin (2 * pi / 24) = 2sin (a) cos (a)
cos (pi / 12) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) -0,2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2)
S0 ele vai.