Melhor resposta
Começamos com o fato de que
5 * pi / 12 = pi / 2-pi / 12 ==> tan (5 * pi / 12) = ctg (pi / 12)
e também a identidade
pi / 12 = (pi / 6) / 2
Em seguida, use o fato de que
cos (pi / 6) = sqrt (3) / 2
e as identidades trigonométricas
ctg (x / 2) = cos (x / 2) / sin (x / 2) = sqrt [(1 + cos (x)) / (1- cos (x))]
e deduza
ctg (pi / 12) = sqrt [(1+ sqrt (3) / 2) / (1-sqrt (3) / 2)] = sqrt [(2 + sqrt (3)) / (2-sqrt (3))].
Resta apenas simplificar isso multiplicando e dividindo por sqrt (2 + sqrt (3)) e obter:
ctg (pi / 12) = sqrt [((2 + sqrt (3)) ^ 2) / (2-sqrt (3)) * (2 + sqrt (3))] = 2 + sqrt (3)
Resposta
tan (5π / 12) = tan (75deg) = (tan45 + tan30) / (1-tan45tan30)
= (1+ 1 / √3) / (1–1 / √3) = (√3 +1) / (√3 – 1) = (1/2) (√3 + 1) ^ 2 = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3 = 3,732