Melhor resposta
A maioria das sequências que você encontra são dadas por uma fórmula para n- o termo: a\_n = f (n) onde f é uma função construída a partir de operações aritméticas, potências, raízes, exponenciação, registros e, às vezes, outras funções. A questão é o que acontece quando n se aproxima do infinito. É \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n) um número finito, ou seja, a sequência converge ou algo mais acontece? Ela diverge para \ infty ou para – \ infty, oscila entre dois números diferentes ou todo o caos se solta?
Se você “não está interessado em certezas, mas satisfeito com uma resposta que” vai funcionar bem na maioria das situações, você pode apenas calcular a\_ {1000} ou em algum outro lugar na sequência. Para a maioria das sequências que encontrar, isso deve responder à sua pergunta.
Mas essa não é a sua pergunta. Você realmente quer saber se a sequência converge ou não. Você quer ter certeza e, se possível, quer para saber para qual número ele converge. Infelizmente, as sequências de formas podem assumir são ilimitadas. O melhor que você pode fazer é ter vários princípios que cuidarão da maioria dos casos. Aqui estão alguns princípios.
- Funções racionais , ou seja, quocientes de polinômios, como a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n +8}. Você pode ver o que vai acontecer se dividir o numerador e o denominador pela maior potência de n que está presente. Você pode resumir tudo em um teorema: Se o grau do numerador for o mesmo que o grau do denominador, a sequência converge para a proporção dos coeficientes principais (4/3 no exemplo); se o denominador tiver um grau superior, a sequência converge para 0; se o numerador tiver um maior grau r, então a sequência diverge para \ infty se os coeficientes principais têm o mesmo sinal, ou para – \ infty se eles têm sinais diferentes.
- Quocientes de funções algébricas que envolvem raízes como a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}. Divida o numerador e o denominador por uma potência fracionária de n. Neste exemplo, \ sqrt n servirá.
- Composições , por exemplo, a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. A função externa, seno, é uma função contínua e as funções contínuas preservam os limites. Neste caso, temos \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0, então a sequência original se aproxima de \ sin0 = 0. Mas considere a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} em vez disso. Aqui temos \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ a \ infty, e \ sin x oscila entre -1 e 1 como x \ a \ infty, portanto, esta sequência não tem limite.
- Ordens relativas de crescimento . Freqüentemente você “terá a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)} onde ambos f (n) \ a \ infty e g (n) \ a \ infty. O que acontece com o quociente depende se o numerador ou denominador está crescendo mais rápido. Usarei o símbolo \ prec para indicar que um cresce muito mais devagar do que outro, ou seja, f \ prec g significa \ lim\_ {n \ para \ infty} \ frac {f (n)} {g (n)} = 0. É útil conhecer alguns deles, e você conhece. Por exemplo, n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. Esses são todos exemplos de polinômios, mas você deve conhecer algumas outras funções \ log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- Regra de L “Hôpital” . Embora as sequências sejam discretas, se o limite contínuo convergir ou se divergir para mais ou menos infinito, então faz o limite discreto. Então, por exemplo, se você obteve a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n} e não usou os pedidos mencionados acima, você poderia usar L “Hôpital” regra s. Como no limite, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, o numerador e o denominador estão se aproximando do infinito, esse limite será o mesmo que o limite onde você substitui o numerador e denominador por suas derivadas, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}, e se ainda não está claro o que acontece, já que isso também é de a forma \ infty / \ infty, você pode usar a regra de L “Hôpital” ag ain.
- O limite especial para e ^ x. Às vezes, isso é usado como a definição da função exponencial. Vale a pena conhecê-lo e aparece frequentemente em sequências úteis. (1 + x / n) ^ n \ a e ^ x
Tenho certeza de que existem mais técnicas. Não se esqueça de simplificar o uso da álgebra conforme você avança.
Resposta
Poucos testes para testar a convergência de sequências.
1. Dada uma sequência a\_n e se tivermos uma função f (x) tal que f (n) = a\_n e \ lim\_ {n \ a \ infty} f (x) = L, então \ lim\_ {n \ a \ infty} a\_n = L
2. Se \ lim\_ {n \ para \ infty} | a\_n | = 0, então \ lim\_ {n \ para \ infty} a\_n = 0
3. A sequência {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty converge se -1 \ ler \ le1.
4. Para uma sequência \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ para \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ a \ infty} a\_ {2n + 1} = L, então a\_n é convergente com o limite L.