Qual será o resto quando 17 ^ 200 for dividido por 18?


Melhor resposta

\ mathbf {\ text {Primeira solução.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Segunda solução usando o teorema de Euler.}}

\ text { (17, 18) são relativamente primos. Podemos usar o teorema de Euler.}

\ text {Função totiente de Euler.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ direita) \ left (1 – \ dfrac {1} {3} \ right) = 18 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ implica (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ implica 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ portanto \, \, \ text {1 é o resto quando} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {é dividido por 18}}

Resposta

Queremos o resto quando 17 ^ {200} é dividido por 18.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad O resto quando 17 ^ {200} é dividido por 18 é 1.

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