Melhor resposta
Somente quando θ = 0.
É geometricamente óbvio que para qualquer θ entre 0 e π / 2, 2sinθ é o comprimento da corda de um arco de medida em radianos 2θ em um círculo de raio 1. E como a corda é mais curta que o arco, devemos ter sinθ <θ para todos esses θ. E, claro, se θ> 1, então sinθ . Finalmente, sinθ <θ para todo θ positivo implica sinθ> θ para todo θ negativo.
Mesmo se θ for medido em graus, sinθ não pode ser igual a θ a menos que θ = 0, simplesmente porque a medida em radianos de um arco de θ graus é πθ / 180, que é muito menor do que θ.
Resposta
Acho que a melhor pergunta é: pode \ cos \ theta é igual a 2?
Você provavelmente sabe que não pode se \ theta é o ângulo de um triângulo na geometria plana, porque a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que o comprimentos de suas pernas, e a perna adjacente não pode ter o dobro do comprimento da hipotenusa. Da mesma forma, se \ theta é qualquer número real, porque \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Assim, se \ theta \ in \ mathbb R, então -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, portanto \ cos \ theta não pode ser 2.
No entanto, afirmamos que se z \ in \ mathbb C, é possível para \ cos z = 2. Na verdade, a definição analítica complexa do cosseno é \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, e assim terminamos com uma equação quadrática, que esperançosamente a maioria de nós está acostumada a .
Queremos resolver \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2. Tomando w = e ^ {iz}, isso se torna \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2, ou equivalentemente, w ^ 2-4w + 1 = 0. Em seguida, aplicamos a fórmula quadrática:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Como w = e ^ {iz}, podemos então obter o log natural, mas devemos ser cuidado : assim como a ^ 2 = b ^ 2 não implica a = b (apenas implica a = \ pm b), e ^ a = e ^ b não implica a = b, apenas implica a = b + 2 \ pi ik para algum k \ in \ mathbb Z. Portanto,
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Então, simplesmente multiplicamos por -i para obter o valor de z:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Podemos finalmente reescrever nossa solução, observando que 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3} e, portanto, \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
O comportamento de \ cos z como uma função analítica complexa imita a função trigonométrica na direção real e o cosseno hiperbólico na direção imaginária; na verdade, você deve saber que \ cos (iz) = \ cosh z e \ sin (iz) = i \ sinh z; e combinar esses fatos com a fórmula da soma dos cossenos acarreta \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y, com x, y \ em \ mathbb R. Isso fornece uma maneira alternativa de calcular o responda. Philip Lloyd tem um ótimo diagrama sobre isso: a resposta de Philip Lloyd para Por que não pode “t cos theta ser igual a 2?