Melhor resposta
Vamos contar a ocorrência do dígito 2 primeiro em 1 a 10. Há apenas 1 aí, nomeadamente para o número 2.
Em seguida, pegue os próximos dez números e conte a ocorrência do dígito 2 neles, e obtemos 2, nomeadamente nos números 12 e 20.
Da mesma forma, ocorre 10 vezes nos números 21 a 30, como ocorre duas vezes em 22.
Continuando da mesma forma para os números seguintes até, e incluindo 120, nós descubra que existe uma vez a cada dez números mais uma vez, total 10.
Entre 121 e 130, ocorre novamente 10 vezes, como ocorre novamente duas vezes em 122.
De 131 a 190 o dígito 2 ocorre uma vez a cada 10 números, um total de 6.
E nos últimos dez números (191–200) ele ocorre duas vezes.
Somando todas as ocorrências encontramos o dígito 2 ocorre 41 vezes, ou seja, nos números 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 e 200.
Resposta
Vou mostrar duas regras, pode haver muitos.
Entre eles, o primeiro é fácil e o segundo é mais matemático e científico:
Processo 1:
Se fizermos n ^ 5, o último dígito do resultado sempre virá igual ao último dígito de n.
Agora, se adicionarmos (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
O último dígito virá como o último dígito da adição (1 + 2 + 3 +… .. + 99) .
Agora,
O último dígito da adição (1 + 2 + 3 +… .. + 99)
= O último dígito de \ frac {99 \ times (99 + 1)} {2}
= O último dígito de \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
Portanto, o último dígito da adição,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5) será Zero.
Processo 2:
sabemos disso,
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12}
Então, para (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
A resposta será,
161708332500
Portanto, o último dígito é zero .
PS: sabemos que 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a é escrito matematicamente como \ Sigma n ^ a. A fórmula geral para a soma das potências é conhecida como fórmula de Faulhaber (também conhecida como fórmula de Bernoulli):
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} P ^ \ underline {k-1} n ^ {p-k + 1}
onde, \ textbf {p} ^ \ underline {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!} é chamado de fatorial decrescente e B\_ {k} são os números de Bernoulli.
Usando essa fórmula, podemos deduzir qualquer fórmula específica para potência soma, como é dado abaixo:
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n – 1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ Sigma n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ Sigma n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ Sigma n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ Sigma n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
Obrigado por ler minha resposta. Espero que isso ajude.