Melhor resposta
Se eu tentar conectar isso em minha calculadora, obterei algo em notação científica, porque a resposta é muito grande para a calculadora exibir. Em termos práticos, a calculadora me mostrará o início do número, e eu estou me preocupando apenas com o final do número.
200! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × ………… × 192 × 193 × 194 × 195 × 196 × 197 × 198 × 199 × 200
Eu sei que um número ganha zero no final se o número tiver 10 como fator. Por exemplo, 10 é um fator de 50, 120 e 1234567890. Então, eu preciso descobrir como qualquer vez 10 é um fator na expansão de 200 !.
Mas desde 5 × 2 = 10, preciso levar em conta todos os produtos de 5 e 2. Olhando para os fatores da expansão acima, há muitos outros números que são múltiplos de
2 (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …, 194, 196, 198, 200)
do que múltiplos de
5 (5, 10, 15, …, 185, 190, 195, 200).
Ou seja, se eu pegar todos os números com 5 como fator, terei números pares mais do que suficientes para emparelhar com eles para obter fatores de 10 (e outro zero à direita em meu fatorial). Portanto, encontrar o número de vezes 10 é um fator, tudo que eu realmente preciso me preocupar é quantas vezes 5 é um fator em todos os números entre 1 e 200.
Ok, quantos múltiplos de 5 existem nos números de 1 a 200? Existem 5, 10, 15, 20, 25, …
Oh, que diabo; vamos fazer isso do modo mais curto: 200 ÷ 5 = 40 , então existem quarenta múltiplos de 5 entre 1 e 200.
Então, sua resposta será 40 .
Mas espere: 25 é 5 × 5, então cada múltiplo de 25 tem um fator extra de 5 que preciso contabilizar. Quantos múltiplos de 25 estão entre 1 e 200?
Visto que 200 ÷ 25 = 8 , há oito múltiplos de 25 entre 1 e 200.
E espere um minuto, também há 125 que é 5x5x5. Portanto, temos que adicionar 1 ao número de zeros.
Então agora o número total de zeros é = 40 + 8 + 1, significa 49.
Então, em 200! existem 49 zeros finais. E não verifique pela calculadora, pois a calculadora não é capaz de fazer isso.
Resposta
Os zeros à direita são uma sequência de 0 “s na representação decimal de um número, após que nenhum outro dígito segue. Isso pode ser resolvido de duas maneiras –
- Vamos ver como os zeros à direita são formados. Um zero à direita é formado quando um múltiplo de 5 é multiplicado por um múltiplo de 2. Agora tudo o que temos a fazer é contar o número de 5 e 2 na multiplicação.
Cada par de 2 e 5 causará um zero à direita. Como temos apenas 24 5, só podemos fazer 24 pares de 2 e 5, portanto, o número de zeros à direita no fatorial 100 é 24 .
2. A pergunta também pode ser respondida usando a fórmula simples fornecida abaixo:
A fórmula acima nos dá o número exato de 5s em n! porque ela cuidará de todos os múltiplos de 5 w que são menores que n. Além de cuidar de todos os múltiplos de 25, 125, etc. (potências superiores de 5).
Dica: Em vez de dividir por 25, 125, etc. (potências maiores de 5); seria muito mais rápido se você dividisse por 5 recursivamente.
Vamos usar isso para resolver alguns exemplos:
Q) Qual é o número de zeros à direita em 100! ?
[100/5] = 20
Agora podemos dividir 100 por 25 ou o resultado da etapa acima, ou seja, 20 por 5.
[ 20/5] = 4. É menos de 5, então paramos aqui.
A resposta é – 20+ 4 = 24 (resposta direta em apenas alguns segundos)
Q) Qual é o número de zeros à direita em 200! ?
[200/5] = 40
Agora podemos dividir 200 por 25 ou o resultado da etapa acima, ou seja, 40 por 5.
[ 40/5] = 8
[8/5] = 1. É menos de 5, então paramos aqui.
A resposta é – 40 + 8 + 1 = 49
Q) Qual é o número de zeros à direita em 1123 !?
[1123/5] = 224
[224/5] = 44
[44/5] = 8
[8/5] = 1. É menos de 5, então paramos aqui.
A resposta é – 224 + 44 + 8 + 1 = 277
Se você tiver alguma dúvida, sinta-se à vontade para perguntar na seção de comentários.