Melhor resposta
É dado que
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ vezes x \ vezes \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4 – x ^ 2 + 1 = 0}}
Agora, o valor de x ^ 2 será – \ omega e – \ omega ^ 2
Onde
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2} }
E
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Vamos pegar x ^ 2 será – \ omega
Agora, a expressão dada é \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90} + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (- \ omega) ^ {103} + (- \ omega) ^ {100} + (- \ omega) ^ {45} + (- \ omega) ^ {42} + (- \ omega) ^ {9} + (- \ omega) ^ {6} + (- \ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – {\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1} – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ({\ omega} ^ {102}. {\ Omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ Omega}) – {\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42} – {\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6} – {\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 – ((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ Omega}) – (\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14} – (\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2} – {\ omega} ^ {3}}}
Agora lembre-se de que \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
Então,
\ displaystyle {s = 1 – (1 \ vezes {\ omega}) + (1 \ vezes {\ omega}) – 1 + 1 – 1 + 1 – 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1 – {\ omega} + {\ omega} – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0}}
Portanto, a resposta é 0
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Resposta
Este problema é um pouco mais simples do que parece à primeira vista e é uma lição de como é útil pode ser procurar – e então explorar – a simetria. O problema não requer cálculo para ser resolvido, embora se você souber um pouco de cálculo, essa abordagem funcione muito bem. A chave para uma solução que não seja de cálculo é observar que se o mesmo valor minimiza g (x) eh (x), então também minimiza g (x) + h (x). Você percebe por que isso é verdade?
Como podemos aplicar essa ideia a este problema?
Considere g (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. Esta função é simétrica em relação a x = 3,5 – o ponto médio entre os valores +3 e +4 que são adicionados ax – uma vez que podemos escrever como g (x) = ((x + 3,5) -0,5) ^ 4 + ((x + 3,5) +0,5) ^ 4. Se y = x + 3,5, esta simetria implica que g (y) deve ser um polinômio par, portanto, contém termos com apenas potências pares de y. Como é um polinômio par, o teorema binomial nos diz que todos os seus coeficientes devem ser positivos. (Na verdade, é g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18, mas nem precisamos encontrar esses três termos explicitamente para terminar o argumento.) Como y = 0, minimiza claramente cada um das somas de g (y) individualmente, uma vez que cada uma é uma potência par de y com coeficiente positivo, nossa observação inicial implica que y = 0 deve minimizar g também. Então, descobrimos que x = -3,5 é o minimizador único de g (x).
Em seguida, considere h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2. Esta função é um pouco mais simples do que g, pois é quadrática, e um argumento quase idêntico implica que x = 3,5 também é o minimizador único de h (x). Explore a simetria para escrevê-la como h (x) = ((x + 3,5) -3,5) ^ 2 + ((x + 3,5) +3,5) ^ 2. Em seguida, observe que h (y) é um polinômio par (portanto, tem apenas potências pares de y) e use o teorema binomial para concluir que ele tem apenas coeficientes positivos. Na verdade, h (y) = 2y ^ 2 + 24,5, mas, novamente, não precisamos encontrá-lo explicitamente. Visto que y = 0 minimiza todos os termos que são adicionados para produzir h (y), sabemos que y = 0 minimiza h (y) e concluímos que x = -3,5 é o minimizador único de h (x).
Finalmente, como x = -3,5 é o minimizador único de g (x) e h (x), ele é o minimizador único de sua soma e o problema está resolvido.