Melhor resposta
Bem, sim. Não sei se isso vale a pena, mas na geometria euclidiana, você define as linhas paralelas da seguinte maneira:
Dizemos AB \ parallel CD \ iff \ angle {FEB} = \ angle {EFC}.
Agora, assumimos o contrário – que AB e CD se encontram, digamos, em um ponto P à direita de GH ( para definição; você sempre pode assumir que P está à esquerda de GH). Então, em \ bigtriangleup {EFP}, \ angle {P} = 0 ^ o. O que implicaria que AB e CD coincidem (o que, obviamente, não é verdade). Donde, AB e CD não podem se encontrar.
Esta é apenas metade da prova, no entanto – onde demonstramos que as linhas paralelas não podem se encontrar. Para provar que as linhas que não se encontram são paralelas, considere o diagrama abaixo:
Se AB e CD não se encontram, então deve ser verdade que EF = GH. Além disso, EF \ paralela GH por construção, o que significa que \ angle {FEG} = \ angle {EGH}. Donde \ bigtriangleup {EFG} \ cong \ bigtriangleup {EHG} \ implica \ angle {HEG} = \ angle {EGF} \ implica AB \ parallel CD.
Resposta
Se um linha é paralela a um plano, ela será perpendicular ao vetor normal do plano (como qualquer outra linha contida no plano, ou paralela ao plano).
(Observe que estou usando “perpendicular ”Aqui, não no sentido de que eles se cruzam, necessariamente, mas no sentido de que seus vetores estariam a 90 graus se estivessem colocados um ao lado do outro)
Para descobrir se dois vetores são perpendiculares, basta pegue seu produto escalar. Se for igual a 0, então eles são perpendiculares.
Então, por exemplo, se tivermos o plano: 2x + 3y – 4z = 7 (o vetor normal aqui seria <2,3, -4>)
E queremos descobrir se a linha: x = 2 + t, y = 3–2t, z = 5-t, é paralela a ela, só precisamos do produto escalar do vetor da linha (<1, -2, -1>) e o vetor normal do plano.
<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1 * 2 + -2 * 3 + -1 * -4 = 2 – 6 + 4 = 0
Então, neste caso, a linha e o plano são paralelos.
Se quisermos usar o mesmo plano, mas compare-o com a linha: x = 4 + 2t, y = 3 + 6t, z = 5 + 9t, então obteremos:
<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2 * 2 + 6 * 3 + 9 * -4 = 4 + 18 – 36 = -14
Portanto, podemos ver que os dois não serão paralelos.