Melhor resposta
Um círculo é uma função ou não? Por quê?
Para ser preciso, se você usar coordenadas cartesianas, não há função explícita de x com intervalo sendo o valor de y cujos pontos se encontram em um círculo completo. A razão para isso é que para quase qualquer valor de x dentro do círculo há dois valores de y correspondentes aos semicírculos superior e inferior, enquanto uma função explícita deve ter um valor único para cada valor de x. Portanto, o melhor que podemos fazer é usar duas funções de x, uma para cada um desses semicírculos. Por exemplo, para um círculo de raio \ text {R} centrado na origem:
\ qquad y = \ pm \ sqrt {\ text {R} ^ 2-x ^ 2}
Aqui, escolher a + fornece uma função cujos pontos estão no semicírculo superior, e escolher a – fornece uma função com pontos no semicírculo inferior.
Mas certamente podemos usar um implícita relacionando as duas coordenadas, por exemplo:
\ qquad x ^ 2 + y ^ 2 = \ text {R} ^ 2
Existem também outras maneiras de construir funções explícitas para um círculo usando diferentes domínios e intervalos para a função. O seguinte, por exemplo, é uma função explícita que define um círculo em coordenadas cartesianas:
\ qquad f (t) = (\ text {R} \ cos (t), \ text {R} \ sin (t))
Aqui o domínio é o conjunto de números reais \ R como de costume, mas neste caso o intervalo da função é o conjunto de pontos no plano xy, lembrando que podemos ter qualquer conjuntos que gostamos para o domínio e o intervalo de uma função. Neste caso, no entanto, observe que são os valores da função que estão no círculo, e o argumento t é uma variável independente.
E, claro, não precisamos nos limitar a coordenadas cartesianas. Se, em vez disso, usarmos coordenadas polares para o plano, podemos ter uma função explícita muito simples para um círculo, por exemplo:
\ qquad r (\ theta) = \ text {R}
Na prática, todas as funções acima, explícitas e implícitas, são comumente usadas em matemática ao lidar com círculos.
Resposta
Um círculo é um conjunto de pontos no plano. Uma função é um mapeamento de um conjunto para outro, então eles são tipos de coisas completamente diferentes, e um círculo não pode ser uma função.
O que você provavelmente quis perguntar é se o círculo é o gráfico de alguma função. O gráfico de uma função, f, é o conjunto de pares, (x, f (x)) para todos os x no domínio, que podem ser interpretados como pontos em um plano.
Portanto, a questão é se há uma função cujo gráfico é o círculo.
A resposta é não, porque cada valor no domínio está associado a exatamente um ponto no codomínio, mas uma linha que passa pelo círculo geralmente cruza o círculo em dois pontos.
Esse tipo de coisa é inconveniente, porque os círculos são muito importantes na geometria. Às vezes, os pontos de um círculo são descritos por uma relação , dada por (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2, onde (a, b) é o centro e r é o raio. Por causa dos quadrados, pode haver dois valores diferentes de y que tornam a relação verdadeira para vários valores de x, então o gráfico do relação é um círculo.