Beste Antwort
Da die Ellipse ein gequetschter Kreis ist, können wir einen äquivalenten Kreis betrachten. Dies wäre nur eine Annäherung und nicht der genaue Wert des Umfangs der Ellipse.
Wir wissen, dass die Gleichung einer Ellipse lautet:
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
Wenn a = b = r, wird dies zur Gleichung eines Kreises. Ich könnte also die Gleichung des äquivalenten Radius des Kreises in Form von a und b schreiben.
Wenn wir lieber den Mittelwert von a und b nehmen, erhalten wir eine bessere Annäherung durch Nehmen Sie den quadratischen Mittelwert von a und b.
dh
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
Daher wäre der ungefähre Umfang der Ellipse:
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
Es gibt viel bessere Annäherungen, aber ich denke, das wäre genug.
Hoffe, dass dies geholfen hat.
Antwort
Versuchen wir, den Umfang einer Ellipse zu ermitteln.
Eine Ellipse mit Die Halb-Hauptachse a und die Halb-Nebenachse b haben die Gleichung:
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
Ein Diagramm (wir müssen hier mit Farbe auskommen, meine Math-Software benötigt eine Lizenzerneuerung):
Um den Umfang zu finden, müssen wir einen Teil dieses Umfangs \ text {d} s als Funktion von \ text {d} x, \ text {d} y ausdrücken und hoffentlich ankommen bei einem verwendbaren Ausdruck.
Wenn wir annehmen, dass wir \ text {d} s durch eine gerade Linie approximieren können, können wir Pythagoras anwenden:
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
oder
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
Ich gehe davon aus, dass wir immer \ text {d} x> 0 nehmen oder von links nach rechts entlang der Hauptachse.
Alles, was übrig bleibt, ist Werbung d diese kleinen Beiträge der Bogenlänge. Wir können x \ in [0, a] betrachten und mit 4 multiplizieren, da unsere Ellipse in der x, y-Achse symmetrisch ist.
Wir fanden:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
Wenn wir einen (schönen) Ausdruck finden:
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
wir sind im Geschäft.
Wir haben jedoch bereits den Ausdruck (1), der y mit x in Beziehung setzt. Zeit zur Berechnung (3), ich werde implizite Differenzierung verwenden:
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
oder
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} = – \ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ Tag * {}
oder
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
Wir müssen dies nur mit x schreiben können. Wir werden (1) erneut verwenden:
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
Ersetzen Sie (5) durch (4):
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
Ersetzen Sie in (2):
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
Es gibt einige Optionen, um dieses Integral neu zu schreiben. Eine Option wäre, x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z zu setzen, und man würde zu Folgendem gelangen:
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
Eine andere Methode wäre die Verwendung einer Parametrisierung der Ellipse der folgenden Form:
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
Und dies führt zu einem elliptischen Integral der zweiten Art, das mehr oder weniger der Standardansatz ist:
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
mit
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
die Exzentrizität der Ellipse.
Wenn wir die Ausdrücke (6,7) und (8) vergleichen, sehen wir, dass man (8) gegenüber (6, – bevorzugen könnte. 7). Der letzte Ausdruck ist nicht nur einfacher in seinem Parameter e, sondern verhält sich auch gut. In Ausdruck (6,7) haben wir immer noch ein Problem, wenn x \ zu a, z \ zu 1.
Allerdings Es gibt keinen Ausdruck in geschlossener Form für das Ergebnis. Für einen Kreis haben wir e = 0 und (8) reduziert sich gut auf 2 \ pi a, wie es sein soll. Gleiches gilt für (6,7).