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Ursprünglich beantwortet: Was ist eine gute Schätzung der Kubikwurzel? von 4?
Die n-te Wurzel von N ist eine Wurzel von x ^ nN = 0. Die Ableitung von x ^ nN ist nx ^ {n-1}, so dass bei einer anfänglichen Schätzung x der Wurzel eine genauere Schätzung unter Verwendung der Newtonschen Methode
\ qquad F (x) = ist x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} {n},
ist der Durchschnitt von ~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1 davon}} \ text {und} \ dfrac {N} {x ^ { n-1}}. Dieser gewichtete Durchschnitt ist sinnvoll, wenn Sie feststellen, dass sowohl x als auch \ dfrac {N} {x ^ {n-1}} Schätzungen der n-ten Wurzel von N sind und in entgegengesetzte Richtungen „aus“ sind und dass x eine n-1-mal bessere Schätzung ist als \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}.
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Wenden wir nun die Methode an…
Sei N = 4. Sei x Ihre Schätzung der Kubikwurzel von 4. Beginnen Sie mit einer guten Vermutung, wie z. B. x = 2. Berechnen Sie dann
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~, um eine bessere Schätzung zu erhalten.
In diesem Fall
\ qquad F. (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ ca. 1.66666667…
Wiederholen Sie dies dann mit x = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ ca. 1,5911111 …
Dies ist eine Annäherung an ungefähr 3 signifikante Stellen. Machen wir es also noch einmal.
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ ca. 1.58740969614163 …
Dies ist gut für ungefähr 6 signifikante Stellen. Mit jeder Iteration verdoppelt sich die Anzahl der richtigen Ziffern ungefähr.
Antwort
Je nachdem, wie viel Sie in Mathematik wissen, gibt es zwei Möglichkeiten:
- Logarithmen verwenden
- Iterative Methoden verwenden (Bisektionsmethode, Newton-Raphson-Methode usw.)
Logarithmen- Nimm x = 2 ^ {1/3}
Also log (x) = 1/3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0,30102999 = 0,100343 (ungefähr)
daher ist x = Antilog (0,100343) = 1,2599 (ungefähr)
Iterative Methoden – Ich werde mit der Halbierungsmethode zeigen, dass Sie andere ausprobieren können, wenn Sie möchten. (Der Prozess ist fast der gleiche.)
Sei x = 2 ^ {1/3}
Also, x ^ 3 – 2 = 0
Sei f (x) = x ^ 3 – 2
Wir wählen zwei Werte so, dass einer f (x) <0 und der andere f (x)> 0
ergibt. Wir sehen, dass f (x) <0 für x = 1 und f (x)> 0 für x = 2. Also, x1 = 1, x2 = 2
Nun nehmen wir den Durchschnitt dieser Werte als neues x
Also, neues x = (1 + 2) / 2 = 1,5
f (1,5) = 1,375> 0
Wir sehen, dass sowohl 1,5 als auch 2 Werte ergeben> 0, also verwerfen wir 2, da es den Wert von f (x) weiter von 0 entfernt ergibt. Wir halten nur Werte von x, die den Wert von f (x) näher an 0 geben.
Also nehmen wir x1 = 1 und x2 = 1,5
wieder finden wir neues x = (1 + 1,5) / 2 = 1,25
f (1,25) = -0,046875
Jetzt haben wir 1 als 1,25 verwerfen, den Wert von f (x) näher an 0
geben, also nehmen wir x1 = 1,25 und x2 = 1,5
Wieder finden wir neues x als Durchschnitt dieser 2 Werte, Setzen Sie f (x) ein, um das Vorzeichen zu sehen. Abhängig davon nehmen wir unsere neuen x1- und x2-Werte.
Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis Sie mit Ihrer Antwort zufrieden sind (endgültiges x).
P.S. Diese Prozesse geben niemals eine genaue Antwort, Sie müssen mit einer ungefähren Antwort aufhören.