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A2A.
Der Wert von tan40 ° kann nicht mit der trigonometrischen Standardsumme ermittelt werden. Differenz- oder Submultiple-Winkelformeln. Wenn Sie jedoch mit dem Lösen kubischer Gleichungen vertraut sind, kann diese Methode nützlich sein –
Wir wissen,
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
Einsetzen von x als 40 ° in dieser Gleichung –
tan 120 ° = \ frac {3tan 40 ° -tan ^ 3 40 °} {1–3tan ^ 2 40 °}
Schreiben von tan40 ° als y –
– \ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2} (tan 120) ° ist ein Standardwert und entspricht – \ sqrt {3})
⇒ -√3 + 3√3y ^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒ y ^ 3 + 3√3y ^ 2–3y-√3 = 0
Beim Lösen dieser Gleichung werden drei Werte erhalten, aus denen der positive Wert tan 40 ° ergibt.
Daher ungefähr tan 40 ° = 0,8394.
Antwort
Was ist der Wert von \ tan 40 ^ o?
Wir können den Wert von \ tan 40 ^ o finden mit der Taylor-Reihe von \ tan x auf ein beliebiges Maß an Genauigkeit.
Die Taylor-Reihe einer reellen oder komplexwertigen Funktion f (x), die an einem reellen oder komplexen Punkt a unendlich differenzierbar ist, ist gegeben durch ,
f (x) = f (a) + \ frac {f „(a)} {1!} (xa) + \ frac {f“ „(a)} {2!} ( xa) ^ 2 + \ frac {f „“ „(a)} {3!} (xa) ^ 3 + \ cdots \ cdo ts
Dies kann kompakt geschrieben werden als f (x) = \ sum \ limit\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} ( xa) ^ n,
\ qquad wobei f ^ {(n)} (a) die n ^ {th} Ableitung von f (x) bei x = a bezeichnet.
Es kann angemerkt werden, dass im Fall von trigonometrischen Funktionen der Winkel in Bogenmaß und nicht in Grad ausgedrückt werden müsste.
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left (45 ^ o-5 ^ o \ rechts) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} – \ frac {\ pi} {36} \ right) = \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right).
Wenn wir x = \ frac {2 \ pi} {9} und a = \ frac {\ pi} {4} nehmen, haben wir (xa) = – \ frac {\ pi} {36}.
Bei a = \ frac {\ pi} {4} ist \ tan x unendlich differenzierbar.
f (x) = \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f ( a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1.
f „(x) = \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f“ (a) = f „\ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 2.
f“ „(x) = 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f (a) = f \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 4.
f (x) = 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f „“ (a) = f „“ \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 16.
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {9} \ right) \ a pprox 1- \ frac {2} {1!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) + \ frac {4} {2!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ rechts) ^ 2 + \ frac {16} {3!} \ left (\ frac {\ pi} {36} \ right) ^ 3 \ ca. 0,83892575.
Der Wert von \ tan (40 ^ o) wie von Excel angegeben ist 0,83909963.
Es ist ersichtlich, dass selbst bei nur 4 Termen dieser unendlichen Reihe der Fehler nur 0,0272 \\% beträgt.
Wenn eine größere Genauigkeit vorliegt benötigt können wir weitere Begriffe der unendlichen Reihe nehmen.