Beste Antwort
Eine komplexe Zahl ist eine zweiteilige Zahl. Es hat einen Realteil und einen Imaginärteil. Wir neigen dazu, es in der Form
a + bi zu schreiben, wobei i die Quadratwurzel der negativen ist, dh (-1) ^ (1/2)
In der Zwischenzeit , das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mal selbst. Dies bedeutet, dass
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
Wir sind auf etwas Ähnliches gestoßen, als wir Faktoren quadratischer Gleichungen betrachteten. Es gibt einen systematischen Ansatz zur Erweiterung des Produkts aus zwei zweiteiligen Faktoren. Möglicherweise ist Ihnen das Akronym „FOIL“ begegnet:
- Multiplizieren Sie die beiden F ersten Begriffe
- Multiplizieren Sie Die beiden O -uter Begriffe
- Multiplizieren Sie die beiden I nner-Begriffe
- Multiplizieren Sie die beiden L ast-Begriffe
Summieren Sie die vier Begriffe für die Antwort
Wenden Sie denselben FOIL -Ansatz mit (a + bi) * (a + bi) an und erhalten Sie
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
Wir können uns ein bisschen neu organisieren. Die beiden mittleren Begriffe sind gleich, daher können wir sie einmal auflisten, aber mit zwei multiplizieren.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
Und jetzt werden wir Schauen Sie sich diesen letzten Begriff an und stellen Sie fest, dass das Quadrat eines Produkts als Produkt der einzelnen Quadrate geschrieben werden kann. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
Wenden wir diese Regel an:
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
Aber „i“ ist die Quadratwurzel von -1. Das Quadrat der Quadratwurzel einer Zahl ist die Zahl selbst. Also (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
Stecken wir dies ein.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (- 1))
Dieser letzte Begriff ist immer noch hässlich. Wir können das „mal negative“ auf die andere Seite pendeln und den gesamten Term als Subtraktion umschreiben.
a ^ 2 + 2abi – b ^ 2
Aber schauen Sie sich das an Ausdruck folgen wir nicht dem Format eines Realteils, gefolgt von einem Imaginärteil. Wir haben einen Realteil, einen Imaginärteil und einen anderen Realteil. Lassen Sie uns die Realteile neu gruppieren.
a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2 – 3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49 – 9 + 42i = 40 + 42i
Antwort
Stellen Sie sich zunächst eine komplexe Zahl a + bi als geordnetes Paar vor (a, b ). In der KOMPLEXEN FLUGZEUG mit einer horizontalen REALEN ACHSE, in der sich normalerweise die x-Achse befindet, und einer vertikalen IMAGINÄREN ACHSE, in der sich normalerweise die y-Achse befindet, zeichnen Sie den Punkt (a, b) auf normale Weise. Nun, der Abstand vom Ursprung zum Punkt (a, b) wird meiner Meinung nach als MODUL der komplexen Zahl bezeichnet. Nennen wir das r.
Wir wissen, dass r = sqrt (a ^ 2) + b ^ 2) nach dem PYTHAGOREAN-Theorem. (Entschuldigung für die Notation, aber damit bin ich begrenzt.)
Auch der Winkel zwischen der positiven Real-Achse und der Linie vom Ursprung zu (a, b) Wir werden Theta aufrufen (verwenden wir dafür T). (Es wird das ARGUMENT der komplexen Zahl genannt.)
Nun. Die komplexe Zahl a + bi kann in POLAR FORM als
a + bi = r (Cos T + iSin T) seit
a = r CosT und. b = r Sin T
Um die Quadratwurzel von zu ziehen a + bi, verwenden Sie die polare Form.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
Also, um dies zu machen Schauen Sie sich einfach den Graphen der komplexen Zahl a + bi mit einer Linie vom Ursprung zu (a, b) an. Drehen Sie nun die Linie auf halber Strecke zurück zur x-Achse und kürzen Sie sie so lange wie möglich auf die Quadratwurzel Die Koordinate dieses Endpunkts ist die Quadratwurzel der komplexen Zahl Die Quadratwurzel ist nur 180 Grad von dort entfernt.
Um dies zu beweisen, nehmen wir die Quadratwurzel von Z = -4
Der Graph ist ein Punkt auf der negativen reellen Achse , 4 Einheiten links vom Ursprung. Der Winkel T = 180 Grad.
Um die Quadratwurzel von -4 zu nehmen, drehen Sie die Linie einfach auf 90 Grad (die Hälfte von 180) zurück und verkürzen Sie ihre Länge auf 2, die Quadratwurzel von 4. Wir wickeln 2 Einheiten auf der imaginären Achse auf. SO ist eine Quadratwurzel von -4 2i. Und die andere Quadratwurzel ist -2i, 180 Grad entfernt.
In Symbolen:
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
und 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
Um die Quadratwurzel von (i)
(i) = 1 (cos 90) zu erhalten + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= Radikal 2 über 2 + (i) Radikal 2 über 2.