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Wie finde ich die Oberfläche eines Kreisrings?
Ein Kreis Ring ist im Wesentlichen ein Torus.
Die Oberfläche eines Torus ist diejenige, die durch einen Kreis mit dem Radius r gebildet wird, der um eine Achse in einem Abstand R vom Mittelpunkt des Kreises (R> r) gedreht ist. Die Achse verläuft durch die Mitte des Torus.
Somit erhalten wir einen Kreisring der Dicke 2r mit dem Innenradius Rr und dem Außenradius R + r.
Ein Querschnitt des Kreises Der Ring ist unten angegeben.
Betrachten Sie einen kleinen Teil des Kreises links in einem Winkel \ theta zur Linie Verbinden der Mittelpunkte der beiden Kreise an den diametral gegenüberliegenden Enden des Querschnitts, wobei ein Winkel d \ theta in der Mitte des Kreises begrenzt wird, wie in der Figur gezeigt.
Der durch den Winkel d gebildete Bogen \ theta ist r \, d \ theta.
Der Abstand dieses Bogens von der Mitte des Rings beträgt Rr \ cos \ theta.
Wenn wir diesen Bogen um die Achse drehen Wenn wir durch die Mitte des Rings gehen, erhalten wir einen Streifen der Ringoberfläche, der 2 \ pi (Rr \ cos \ theta) r \, d \ theta misst.
Um die Oberfläche des Rings zu erhalten Ring müssen wir dies von \ theta = 0 bis \ theta = 2 \ pi integrieren.
\ Rightarrow \ qquad A = \ int \ border\_0 ^ {2 \ pi} 2 \ pi (Rr \ cos \ Theta) r \, d \ Theta
\ q quad \ qquad = 2 \ pi \ left [rR \ theta-r ^ 2 \ sin \ theta \ right] \_0 ^ {2 \ pi} = 4 \ pi ^ 2rR.
\ Rightarrow \ qquad The Die Oberfläche des Kreisrings beträgt 4 \ pi ^ 2rR.
Antwort
Es gibt zwei Arten von Kreisringen, die ich gesehen habe.
[1] Kreisring mit kreisförmiger Querschnittsfläche.
Um die Oberfläche zu ermitteln, machen Sie in diesem Fall einfach einen Schnittquerschnitt. Es würde aussehen wie … zylindrischer Stab.
Das Finden der Oberfläche ist
Radius des zylindrischen Stabes, r = \ frac {(R\_2-R\_1)} {2}, wobei R\_1 & R\_2 Innen- und Außenradius des Kreisrings sind.
Länge des zylindrischen Stabes, l = 2 \ pi R\_m, wobei R\_m mittlerer Radius des Kreisrings ist, dh R\_m = \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2}
Oberfläche = 2 \ pi rl = 2 \ times \ pi \ times \ frac {(R\_2-R\_1)} {2} \ times (2 \ pi \ times \ frac {(R\_2 + R\_1)} {2})
dh , \ pi ^ 2 (R\_2 ^ 2-R\_1 ^ 2)
[2] Kreisring ohne Kreisquerschnitt: zum Beispiel, Nehmen Sie einen rechteckigen Querschnitt
, wenn wir den Querschnitt
Ich denke, die Oberfläche kann leicht berechnet werden. Mach es selbst!