Beste Antwort
Beobachten Sie zunächst sin 35 ° liegt nahe an sin 30 ° = 1/2. Wir wissen also sofort, dass es ungefähr 1/2 ist. Das liegt innerhalb von ungefähr 7\% des tatsächlichen Wertes.
Versuchen wir, eine bessere Schätzung zu erhalten. Durch die Winkeladditionsidentität
sin 35 ° = sin 30 ° cos 5 ° + sin 5 ° cos 30 ° = (1/2) cos 5 ° + sin 5 ° (√3 / 2).
Da 5 ° = π / 36 ein relativ kleiner Winkel ist, können wir die Näherungen sin x ≈ x und cos x ≈ 1. Also
sin 35 ° ≈ 1/2 + (π / 36) (√3 / 2).
Nun π ≈ 22/7 und (√3 / 2) ≈ 7/4, weil 49/16 ≈ 3. Wir erhalten also
sin 35 ° ≈ 1/2 + (22/7) (1/36) (1/2) (7/4) = 1/2 + 11/144 = 83/144,
Dies unterscheidet sich von der wahre Wert um weniger als 1\%.
Ein anderer Ansatz besteht darin, ihn unter Verwendung der ersten paar Terme in der Taylorreihenerweiterung von sin zu berechnen x . Dies ist auf besser als 0,1\% genau, aber schwieriger von Hand zu berechnen als 83/144.
Antwort
Sin (35) = Sin (45 – 10) = Sin (45 ) Cos (10) – Cos (45) Sin (10)
= 1 / (sqrt (2)) [Cos (10) – Sin (10)]… (1)
Nun ist Sin (3x) nach der allgemeinen Formel gleich 3sin (x) – 4 (Sin (x)) ^ 3, wodurch x = 10 Grad gesetzt wird, was Sin (3x) = Sin (30) = 1/2 ergibt und daher erhalten wir 3Sin (10) – 4 (Sin (10)) ^ 3 = 1/2 oder, wenn wir diese Gleichung manipulieren und Sin (10) = y setzen, erhalten wir
8y ^ 3 – 6y + 1 = 0 Lösen Sie diese Kubik mit einer numerischen iterativen Methode wie der Newton-Raphson-Methode von Hand, um nach einem Slog Folgendes zu erhalten:
y = 0.17364817766693 = Sin ( 10)… (2)
Natürlich können Sie je nach erforderlicher Genauigkeit zu weniger Zahlen gehen.
Cos (10) = sqrt [1 – y ^ 2) = 0,9848077530122.
Geben Sie die Werte für Cos (10) und Sin (10) in (1) ein, um Folgendes zu erhalten:
Sin (35) = 0,57357643639 wie angefordert.