Beste Antwort
Wenn ich mir die anderen bereits veröffentlichten Antworten ansehe, bin ich mit ihrer Vollständigkeit überhaupt nicht zufrieden. … Und als erfahrener Mathe-Tutor fühle ich mich verpflichtet, eine ungekürzte Antwort zu geben.
Die von Ihnen angegebene cos (2x) -Formel ist eine der drei Doppelwinkelidentitäten für Cosinus. Das Lösen dieser Gleichung für sin (x / 2) führt zur Halbwinkelidentität für Sinus.
Bitte beachten Sie, dass wo Ich habe * markiert. Eine der weniger bekannten Regeln der Trigonometrie besagt, dass Sie alle Triggerfunktionsargumente auf beiden Seiten einer Gleichung durch dieselbe Konstante äquivalent teilen können. Tatsächlich können Sie jede -Konstante teilen. Dies ist jedoch möglicherweise nicht immer nützlich. Versuchen Sie, die obige Gleichung für sin (x / 3) zu lösen, und verwenden Sie diese, um sin (pi / 12) zu finden. Es funktioniert wunderbar.
Um die sin (x / 2) -Formel tatsächlich zu verwenden, müssen Sie die angegebene Gleichung mit einem äquivalenten, komplexen Bruch manipulieren, wie hier gezeigt:
Dies wird natürlich im ersten Bild oben gezeigt. Neben dem Erkennen / Ableiten der Halbwinkelidentität besteht die größere Herausforderung darin, sie tatsächlich anzuwenden.
Antwort
I. Verwenden wir einen Lösungsansatz, der als Äquivalenz bekannt ist.
Bei diesem Ansatz wählen wir ein vorteilhaftes Objekt oder eine Reihe von Objekten aus und schauen bei ihnen aus verschiedenen… Blickwinkeln mit der Hoffnung, dass wir dabei eine fruchtbare Beziehung ableiten können.
Ein solches Objekt oder ein solcher Begriff könnte quadratische Fläche .
Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Hypotenuse eine Einheit ist, wählen einen Winkel x und markieren die Längen der Seiten des Dreiecks als \ cos x, das wir als Dreieck height und \ sin x, die wir als base des Dreiecks behandeln:
Dann nehmen wir an, dass die quadratische Fläche eines Dreiecks das halbierte Produkt seiner Basis ist e über Höhe:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
Der nächste Schritt ist ziemlich herausfordernd, weil wir im Vakuum nicht genau wissen, was uns auf der anderen Seite von 2 \ sin x \ cos x erwartet. Vom Standpunkt der Entdecker aus starren wir in den Abgrund des Unbekannten. Nennen wir es also Intuition, einen glücklichen Gedanken oder nur eine Nase, aber wir argumentieren folgendermaßen:
Okay, wir haben einen Weg gefunden, einen konkreten Begriff (eine quadratische Fläche) an eine ansonsten abstrakte Stelle anzuhängen, und seien wir ehrlich es ist ein ziemlich mysteriöser Ausdruck, aber – nicht genau, da wir dort immer noch den Faktor 2 arbeiten müssen.
Wie können wir das tun?
Nun, wie wäre es, wenn wir die beiden identischen Dreiecke nebeneinander setzen zusammen?
Dann bleibt die Höhe oder das \ cos x in unserem Jargon gleich, aber wir gewinnen, indem wir die beiden identischen Basen \ sin x in unserem Jargon zu einer verschweißen:
Beachten Sie, dass wir Ihren Ausdruck pedantisch verfolgen / interpretieren.
Jetzt ist die Zeit für Äquivalenz , um hoch zu stehen und gezählt zu werden. Die neue zusammengesetzte Form ist immer noch ein Dreieck und ihre quadratische Fläche ist immer noch:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
aber wir haben das Recht, dieselbe Form unterschiedlich zu betrachten: Wenn wir die Seite der Länge 1 als Basis behandeln, ist die senkrecht dazu stehende, rot dargestellte Seite die Höhe. Der Winkel am oberen Scheitelpunkt beträgt jedoch 2x. Daher lautet die neue Höhe per Definition:
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
Daher kann dieselbe quadratische Fläche desselben Dreiecks sein gerendert als:
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
Aber ( 2 ) und ( 4 ) repräsentieren die gleiche Größe. Deshalb:
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ Tag * {}
von wo aus wir Folgendes entdecken:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. Beginnen Sie für eine ähnliche, aber besser ausgebildete Behandlung mit demselben Dreieck wie oben und verdoppeln Sie die Länge seiner \ sin x -Seite, indem Sie einen Kreis \ sigma mit dem Mittelpunkt bei B und dem Radius BA konstruieren:
Aber jetzt schneidet AC \ sigma bei E (solange x 5 ^ {\ circ}) und entweder nach dem Thale-Theorem oder nach dem Euklids B3P31 (der Winkel in einem Halbkreis ist richtig) der Winkel bei E ist richtig:
und da die rechtwinkligen Dreiecke ABC und AED einen gemeinsamen Winkel \ theta haben, folgt \ angle ADE = x und aus \ triangle AED für ED haben wir:
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
Aber aus dem rechtwinkligen Dreieck CED für ED haben wir:
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
und daher:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(Sie können sich das als dünnere Äquivalenz vorstellen, da wir die Länge eines Liniensegments verwendet haben, um die Lücke zwischen den beiden Teilen miteinander zu überbrücken.)
III. Höchstwahrscheinlich scheint diese Version zu fortgeschritten zu sein, aber ich werde sie trotzdem und aus zwei Gründen zeigen. Ein Grund ist zu zeigen, dass es in der Mathematik nicht nur viele verschiedene Wege gibt, um das gleiche Ergebnis zu erzielen, sondern einige dieser Wege auch überraschend erscheinen mögen. Der andere Grund – Sie müssen sich auf etwas freuen, um es zu lernen.
Irgendwann in Ihrer mathematischen Ausbildung können Sie auf diese Objekte stoßen, die als komplexe Zahlen
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} \ tag * {}
wobei e Eulers Nummer ist und ich diese besondere Eigenschaft habe, dass i ^ 2 = -1, aber ignoriere dies alles für einen Moment und nur unverblümt Multiplizieren Sie die beiden oben genannten Brüche nach den Regeln der Mittelschulalgebra:
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x}) + 1 – 1 – e ^ {- i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} – e ^ {- i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
gemäß ( 5 ).