Beste Antwort
Nur wenn θ = 0.
Es ist geometrisch offensichtlich, dass für jedes θ zwischen 0 und π / 2, 2sinθ ist die Länge der Sehne eines Bogenmaßes im Bogenmaß 2θ in einem Kreis mit Radius 1. Und da die Sehne kürzer als der Bogen ist, müssen wir für alle diese θ sinθ <θ haben. Und wenn dann θ> 1 ist, dann ist sinθ . Schließlich impliziert sinθ <θ für alle positiven θ sinθ> θ für alle negativen θ.
Selbst wenn θ in Grad gemessen wird, kann sinθ nicht gleich θ sein, es sei denn, θ = 0, einfach weil das Bogenmaß eines Bogens von θ Grad ist πθ / 180, was viel kleiner als θ ist.
Antwort
Ich denke, die bessere Frage ist, kann \ cos \ theta gleich 2?
Sie wissen wahrscheinlich, dass dies nicht möglich ist, wenn \ theta der Winkel eines Dreiecks in ebener Geometrie ist, da die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks länger ist als die Die Länge der Beine und des angrenzenden Beins kann nicht doppelt so lang sein wie die Hypotenuse. Ebenso, wenn \ theta eine reelle Zahl ist, weil \ cos \ theta = – \ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ). Wenn also \ theta \ in \ mathbb R ist, dann ist -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1, daher kann \ cos \ theta nicht 2 sein.
Wir behaupten jedoch, dass wenn z \ in \ mathbb C, es ist für \ cos z = 2 möglich. In der Tat lautet die komplexe analytische Definition des Cosinus \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2, und so erhalten wir eine quadratische Gleichung, an die die meisten von uns hoffentlich gewöhnt sind .
Wir möchten \ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} 2 = 2 lösen. Nimmt man w = e ^ {iz}, so wird dies \ frac {w + w ^ {- 1}} 2 = 2 oder äquivalent w ^ 2-4w + 1 = 0. Wir wenden dann die quadratische Formel an:
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
Da w = e ^ {iz}, können wir dann das natürliche Protokoll nehmen, aber müssen wir sein Vorsicht : So wie a ^ 2 = b ^ 2 nicht a = b impliziert (es impliziert nur a = \ pm b), impliziert e ^ a = e ^ b nicht a = b, sondern nur impliziert a = b + 2 \ pi ik für einige k \ in \ mathbb Z. Daher ist
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
Dann multiplizieren wir einfach mit -i, um den Wert von z zu erhalten:
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
Wir können unsere Lösung schließlich neu schreiben und dabei feststellen, dass 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3} und damit \ ln (2- \ sqrt 3) = – \ ln (2+ \ sqrt 3):
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
Das Verhalten von \ cos z als komplexe analytische Funktion ahmt die trigonometrische Funktion in der realen Richtung und den hyperbolischen Cosinus in der imaginären Richtung nach; Tatsächlich wissen Sie vielleicht, dass \ cos (iz) = \ cosh z und \ sin (iz) = i \ sinh z; und das Kombinieren dieser Tatsachen mit der Kosinus-Summenformel führt zu \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y mit x, y \ in \ mathbb R. Dies bietet eine alternative Möglichkeit, die zu berechnen Antworten. Philip Lloyd hat ein großartiges Diagramm dazu: Philip Lloyds Antwort auf Warum kann „cos cos theta nicht gleich 2 sein?