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Warum ist 2 hoch Potenz von 25, keine quadratische Zahl?
Stellen wir zunächst sicher, dass wir wissen, was eine quadratische Zahl ist. Eine quadratische Zahl ist das Produkt einer positiven ganzen Zahl, multipliziert mit sich selbst.
4 ist eine quadratische Zahl, weil 4 = 2 \ times2. 9 ist eine quadratische Zahl, weil 9 = 3 \ times3. 25 ist eine quadratische Zahl, weil 25 = 5 \ times5.
Schauen wir uns die Potenzen von 2 an und sehen, welche quadratische Zahlen sind und welche nicht:
2 ^ {2 } = 2 \ times2 = 4 ==> Quadratzahl 2 ^ {3} = 2 \ times2 \ times2 = 8 ==> keine Quadratzahl 2 ^ {4} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 = 16 = 4 \ times4 ==> Quadratzahl 2 ^ {5} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 32 ==> keine Quadratzahl 2 ^ {6} = 2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 \ times2 = 64 = 8 \ times8 ==> Quadratzahl
Hier beginnt ein Muster aufzutauchen: Wenn der Exponent gerade ist, ist das Ergebnis eine Quadratzahl. Dies liegt daran, dass wir es in zwei gleiche Teile aufteilen können: x ^ {\ frac {y} {2}} \ times x ^ {\ frac {y} {2}} = x ^ {y}.
25 ist eine ungerade Zahl, daher kann 2 ^ {25} keine quadratische Zahl sein.
Antwort
Weil 25 ungerade ist und 2 keine quadratische Zahl ist.
Allgemein:
a ^ {2k} ist eine quadratische Zahl und ihre Wurzel ist a ^ k.
Die Wurzel von a ^ {2k + 1} ist a ^ k \ cdot \ sqrt {a} und daher muss a eine quadratische Zahl sein, oder das Ganze ist irrational.
Hinweis für postive Zahlen gilt die Regel:
\ left ( a ^ b \ right) ^ c = a ^ {bc}
Deshalb ist 9 ^ {25} ein Quadrat, es ist dasselbe wie 3 ^ {50} und hat eine Wurzel von 3 ^ { 25}.