Warum ist die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen immer ein Vielfaches von 3? Wie beweisen Sie dies mit algebraischen Ausdrücken?


Beste Antwort

3n + 3n + 1 + 3n + 2 = 9n + 3 = 3 (n + 1)

3m + 1 + 3m + 2 + 3m + 3 = 9m + 6 = 3 (m + 2)

3k + 2 + 3k + 3 + 3k + 4 = 9k + 9 = 9 (k + 1)

Grundsätzlich erhalten Sie 3 Zahlen, die genau sind:

1 von 0mod3, 1 von 1mod3 und 1 von 2mod3

( aber in keiner bestimmten Reihenfolge)

Und 3 teilt den hier erzeugten Rest

Wenn Sie n aufeinanderfolgende ganze Zahlen haben, haben Sie alle Restfälle für n (0 bis n-1) GENAU zugewiesen einmal (und somit eindeutig unter jeder aufeinanderfolgenden ganzen Zahl) und diese Eigenschaft ist universell für alle natürlichen Zahlen n,

, aber 3 teilt zufällig 0 + 1 + 2, was die Summe seiner Restfälle ist. Sie sehen, 4 teilt nicht 0 + 1 + 2 + 3 = 6, aber 5 teilt 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10, aber 6 teilt nicht 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15… Dieser Teil ist also eindeutig nicht für alle n universell.

Dieser Trick funktioniert zufällig für 3 (wie 5), da x | Σr mit r 1 bis x-1 für x = 3 (auch x) umfasst = 5), gehen Sie zum Anfang dieser Antwort, um zu sehen, warum nur die Reste wichtig sind und nicht, wie oft die Zahlen durch 3 😃 teilbar sind!

Aber der kürzeste Beweis, dem das „Warum“ egal ist wir kommen so oft dorthin, wie wir dorthin gelangen “wäre:

x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3 = 3 (x + 1)

Antwort

Warum ist die Summe von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen immer ein Vielfaches von 3? Wie beweisen Sie dies mit algebraischen Ausdrücken?

Die ganzen Zahlen seien k \ text {,} \ text {} k + 1 \ space \ text {und} \ text {} k + 2 wobei k auch eine ganze Zahl ist.

Fügen Sie sie hinzu: k + k + 1 + k + 2 = 3k + 3 = 3 (k + 1) \ text {.}

\ also \ text {} diese Summe ist ein Vielfaches von 3 \ text {.}

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