Beste Antwort
Per Definition gibt es 360 Grad in einer vollständigen Drehung; Somit sind 45 Grad die Hälfte der Hälfte einer vollständigen Drehung, dh 1/8 einer vollständigen Drehung.
Nehmen Sie ein Quadrat und zeichnen Sie Linien von der Mitte zu den Ecken und zu den Mittelpunkte jeder Seite. Dies legt acht gleiche Winkel um die Mitte; Daher betragen diese Winkel alle 45 Grad.
Wir können auch sehen, dass wir für jedes dieser Winkel rechtwinklige Dreiecke erhalten, wobei jeweils beide Schenkel dieser rechtwinkligen Dreiecke gleich sind (halb so groß wie eine Seite von das Quadrat). Somit beträgt die Tangente (im Sinne des gegenüberliegenden Beins / benachbarten Beins) von 45 Grad 1.
Antwort
„ Was ist tan (45)? “
Wenn x ist eine rationale Zahl ungleich Null, dann ist tan x irrational (bewiesen von Lambert, 1761). Ich weiß nicht, ob ein Beweis entwickelt wurde, als dass tan x transzendent sein muss, obwohl es einen solchen Beweis für Sinus und Cosinus gegeben hat.)
Nun ist 45 eine rationale Zahl ungleich Null, daher muss tan 45 irrational sein.
Die einfachste Form des exakten Ausdrucks für diesen Wert ist tan 45. Sie können ihn nicht einfacher ausdrücken und den Ausdruck darstellen lassen genau tan 45.
Wenn Sie an einer numerischen -Näherung interessiert sind, um ein gutes Gefühl für die Größe und das Vorzeichen der Zahl zu bekommen, wir have: tan 45 = 1.619 775 190 543 861 549 982 796 517….
Für diejenigen, die fälschlicherweise in ihren Antworten als tan 45 = 1 behaupten, haben Sie den Satz verletzt, auf den ich mich zuerst bezogen habe. Sie haben den Satz verletzt, indem Sie eine solche Aussage gemacht haben, und da Sätze einen Beweis für ihre Richtigkeit erfordern, bedeutet jede Verletzung eines Satzes, dass etwas falsch gemacht wurde. In diesem Fall geht der Fehler davon aus, dass tan 45 tan 45 ° bedeutet. Wenn Sie die Tangente (von Sinus, Cosinus, Kotangens, Sekante oder Cosecant eines Winkels mit einer bestimmten Anzahl von Grad möchten und die Sie verwenden möchten Bei dieser Zahl ist es zwingend erforderlich, dass Sie das Symbol ° verwenden oder diese Zahl mit π / 180 multiplizieren. Das Argument der Tangentenfunktion muss nichts mit Winkeln zu tun haben – es kann eine beliebige reelle Zahl sein (außer wenn Singularitäten wie z als π / 2) mit beliebiger Bedeutung. Nun entsprechen Winkel tatsächlich reellen Zahlen – dies gilt nicht für Längen, Zeitdauern usw., aber Winkel haben diese besondere Eigenschaft. Winkel sind tatsächlich dimensionslose Größen, was bedeutet, dass sie es können ausgedrückt werden als einfache Zahlen. Nun existieren verschiedene Einheitennamen für Winkel, da es oft bequem ist, sich leicht auf verschiedene Winkelgrößen zu beziehen. Jeder Winkeleinheitsname (Halbkreis, Bogenmaß, Grad, Bogenminute, Bogensekunde usw.) entspricht einer Zahl Es stellt sich heraus, dass, wenn Sie eine haben Kreis mit einem Radius von 3 m und einem Bogen dieses Kreises mit einer Länge von 6 m. Der Winkel beträgt (6 m) / (3 m) = 2 (wobei zu beachten ist, dass sich die Meter im Zähler und Nenner gegenseitig aufheben, um nur eine Zahl zu erhalten ), aber 2 von was. Die Definition eines Bogenmaßes ist der Winkel, so dass die Bogenlänge und der Kreisradius gleich sind, 1 rad = (1 m) / (1 m) = 1. Somit ist rad = 1/1 = 1. Weil rad = 1, wir kann 2 rad = 2 × 1 = 2 schreiben, daher ist das explizite Schreiben von rad beim Ausdrücken des Wertes eines Winkels optional. Manchmal ist es sehr hilfreich, Mehrdeutigkeiten zu vermeiden (z. B. die Unterscheidung einer Winkelfrequenz von 1 rad / s gegenüber einer zyklischen Frequenz von 1 [Zyklus] / s = 1 Hz), und wir werden darauf bestehen, das Rad für eine klare Kommunikation einzubeziehen, obwohl dies der Fall ist ist nominell optional; In anderen Fällen gibt es keine Mehrdeutigkeit und es ist völlig in Ordnung, das Rad wegzulassen.
Nun, 180 ° = π rad, zwei verschiedene Ausdrücke, die sich auf den Winkel eines Halbkreisbogens beziehen. Wenn wir durch Seiten der Gleichung durch 180 teilen, sehen wir: ° = (π / 180) rad = (π / 180) × 1 = π / 180, da rad = 1. Mit anderen Worten, der Grad ist auch gerecht eine Zahl, aber ihr Wert ist nicht 1; Daher können wir 45 ° = 45 nicht gültig schreiben und das ° -Symbol nur unbekümmert fallen lassen. Da ° die Zahl π / 180 darstellt, bedeutet dies 45 ° = 45 (π / 180) = π / 4, dh wenn Sie die Bedeutung von ° anwenden, erhalten Sie eine andere Zahl – eine Zahl, die der Zahl entspricht von Bogenmaß, also konvertieren Sie implizit von Grad zu Bogenmaß. Wenn Sie nur 45 schreiben, entspricht dies 45 × 1 = 45 rad, und kann nicht 45 ° bedeuten. Wenn Sie Winkel und ihre numerischen Werte auf diese Weise nicht verstehen, können wir Dinge wie die Ableitung von sin x in Bezug auf x ist cos x ; Der Ausdruck müsste etwas chaotischer sein – unerwünscht chaotischer. Zu viele Widersprüche und andere seltsame Dinge passieren, wenn Sie versuchen, so zu handeln, als hätte der Winkeleinheitsgrad den numerischen Wert 1, sodass Sie ihn frei einschließen oder vermeiden können.
Leider verhalten sich die in Sekundarschulen häufiger verwendeten Geometrie-Lehrbücher alle faul und lehren die Schüler, unangemessen faul zu sein – ohne sich die Mühe zu machen, die Maßeinheiten zu schreiben, wenn sie einen Abschluss haben. Dieser Fehler wird normalerweise in fortgeschritteneren Algebra- oder Trigonometrie-Lehrbüchern korrigiert, in denen ° immer dann geschrieben wird, wenn Grad beabsichtigt sind, und wenn Einheiten weggelassen werden, ist immer Bogenmaß beabsichtigt, was der Standardpraxis von professionellen Mathematikern und Physikern entspricht. Ich weiß nicht, warum die Geometrie-Lehrbücher darauf bestehen, eine inakzeptable Abkürzung zu verwenden, die der üblichen beruflichen Praxis widerspricht, da die Lehrer und Schüler in späteren Kursen frustriert sind, wenn sie lehren bzw. lernen müssen, dass das Symbol ° notwendig ist.