Beste Antwort
Die Definition von Trace als Summe der diagonalen Einträge einer Matrix ist leicht zu erlernen und leicht zu verstehen. Es hat jedoch keine nette geometrische oder andere Interpretation – es sieht nur wie ein Berechnungswerkzeug aus. Wenn Sie es aus dieser Perspektive angreifen, bedeutet dies im Grunde, dass Sie mit rechnerischen Beweisen von Tatsachen wie tr (AB) = tr feststecken (BA).
Sie sind per se nicht „t schlecht . Sie sind leicht zu verstehen und sicherlich das, was gezeigt werden sollte, wenn jemand anfänglich lineare Algebra lernt. Es gibt einen tieferen Grund, warum tr (AB) = tr (BA), aber es ist ziemlich abstrakt und erfordert insbesondere das Tensorprodukt, um es zu verstehen.
Betrachten Sie den Raum linearer Operatoren aus einem Vektor Raum V zurück zu sich selbst. Wenn wir einen bestimmten Satz von Koordinaten auswählen, sehen solche Operatoren wie quadratische Matrizen aus. Wir werden jedoch versuchen, Koordinaten so weit wie möglich zu vermeiden.
Wir bezeichnen mit V ^ * den dualen Raum von V, den Raum linearer Funktionale auf V — dh lineare Karten \ lambda Wenn wir also einen Vektor v einstecken, ist \ lambda (v) ein Skalar.
Wenn wir dann das Tensorprodukt V ^ * \ otimes V nehmen, ist es isomorph zum Raum der linearen Operatoren V. \ rightarrow V. Der Isomorphismus funktioniert folgendermaßen: Wenn w \ in V, dann ist (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.
Wir können auch herausfinden, wie die Komposition unter diesem Isomorphismus funktioniert. – Denken Sie daran, dass die Zusammensetzung linearer Karten genau das Gleiche ist wie das Multiplizieren der entsprechenden Matrizen.
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2
daher
(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)
Nun, wie funktioniert das? Spur kommen herein? Nun, es gibt eine natürliche Karte von V ^ * \ otimes V zum Feld der Skalare, die so funktioniert: \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). Das Erstaunliche ist, dass, wenn Sie alles in Koordinaten berechnen, dies die Spur ist.
Dies zeigt, dass die Spur weit davon entfernt ist, ein abstraktes Rechenwerkzeug zu sein, sondern tatsächlich eine grundlegende und natürliche Karte in der linearen Algebra ist . Insbesondere liefert die obige Analyse automatisch einen Beweis dafür, dass tr \ left (ABA ^ {- 1} \ right) = tr (B) ist.
Aber warum ist die stärkere Aussage tr (AB) = tr ( BA) wahr? Nun, lassen Sie uns beide berechnen.
tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1)) (\ lambda\_1, v\_2) \ rechts) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)
Andererseits:
tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1)) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)
Ah AB entspricht also der Paarung von \ lambda\_1, \ lambda\_2 und v\_1, v\_2 auf eine Weise, und BA entspricht der Paarung auf die andere Weise, aber sobald wir die Spur nehmen, werden sie gepaart wieder , und an diesem Punkt gibt es keinen Unterschied mehr.
Schön.
Antwort
Der Beweis von \ mbox {tr } (AB) = \ mbox {tr} (BA) ist eine einfache Berechnung:
\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =
= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).
Ich bin mir nicht sicher, ob dies den „Warum“ -Teil der Frage im Sinne von „Ja, Ich sehe, dass die Berechnung funktioniert, aber warum ? „.
Es ist nicht oft möglich zu erklären, warum etwas wahr ist. Hier ist es vielleicht hilfreich zu beobachten, dass AB und BA tatsächlich viel mehr gemeinsam haben als die Spur: Sie haben das gleiche charakteristische Polynom .
Eine weitere nützliche Beobachtung ist, dass AB und BA ähnliche Matrizen sind, wenn A oder B nicht singulär (invertierbar) sind, einfach weil
AB = B ^ {- 1} (BA ) B.
Ähnliche Matrizen haben eindeutig die gleichen Eigenwerte, so dass sie insbesondere die gleiche Spur haben. Wir können durch Kontinuität (über Felder, in denen dies sinnvoll ist) argumentieren, dass dies auch im Einzelfall gilt.