Beste Antwort
Aufgrund der Definitionen von \ sin x, \ cos x und \ tan x.
In einem rechtwinkligen Dreieck mit spitzem Winkel x haben wir die Triggerverhältnisse wie folgt definiert:
\ qquad \ sin x = \ dfrac {\ text {Gegenteil}} {\ text {Hypotenuse} }
\ qquad \ cos x = \ dfrac {\ text {benachbart}} {\ text {hypotenuse}}
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {gegenüber }} {\ text {benachbart}}
Daraus ergibt sich das Akronym SOH-CAH-TOA
Wie auch immer, wenn wir den Ausdruck für \ tan x nehmen und Zähler und Nenner teilen Durch \ text {hypotenuse} erhalten wir:
\ qquad \ tan x = \ dfrac {\ text {Gegenteil} / \ text {hypotenuse}} {\ text {benachbart} / \ text {hypotenuse}} = \ boldsymbol {\ dfrac {\ sin x} {\ cos x}}
Antwort
Beginnen wir mit einem Bild (Bildnachweis: Rechtes Dreieck – von Wolfram MathWorld )
Wir werden uns auf das linke konzentrieren, aber das rechts zwei sind in der Trigonometrie sehr wichtig.
Ich werde den con verwenden Erwähnen Sie, dass der Winkel gegenüber der Seite a \ alpha und der Winkel gegenüber der Seite b \ beta ist.
Erinnern Sie sich: \ sin {\ alpha} = \ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ cos {\ alpha} = \ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}}
\ tan {\ alpha} = \ frac {a} {b}
Teilen wir nun Sinus durch Cosinus:
\ frac {\ sin {\ alpha}} {\ cos {\ alpha}} = \ frac {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = \ frac {a} {b } = \ tan {\ alpha}. Wir können dasselbe mit \ beta machen. Im Allgemeinen können wir denselben Trick mit jedem rechtwinkligen Dreieck ausführen, daher muss es eine intrinsische Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen sein. Wir wissen, was Sinus und Cosinus sind, weil wir sie als diese bestimmten Verhältnisse definiert haben.