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1. Wurzeln von Zahlen.
In der Grundschule wurde uns mitgeteilt, dass die Quadratwurzel einer Zahl tatsächlich eine Frage ist. Welche Zahl mit sich selbst multipliziert wird, um eine Zahl zu erhalten, ist die Wurzel. Z.B. Quadratwurzel von 9 = 3, da 3 × 3 = 9 vierte Wurzel von 16 = 2, da 2 × 2 × 2 × 2 = 16 und so weiter. Die Natur der Wurzeln ist jedoch grundlegender, da ihre Anwendung das Zahlensystem vom Rationalen zum Realen erweitert. Mit anderen Worten, um die Operation des Findens von Wurzeln zu nutzen, war es notwendig, das Zahlensystem so zu erweitern, dass es unter dem geschlossen wird Operation des „Verwurzelns“ durch Einführung der irrationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind für +, -, ×, ÷ aber nicht für √ geschlossen. ZB √2 kann nicht als Verhältnis ausgedrückt werden. Die Pythagoräer wussten dies und hätten es versuchen sollen Abendessen, da es nicht quadratisch war, ha, ha, mit ihrem Weltbild.
2. Wurzeln von Gleichungen
Die Art, von der uns gesagt wurde, war, als die Kurve die Kurve schneidet x-Achse. Dies kann je nach Polynom einmal, zweimal, dreimal auftreten. Es wurden Regeln entwickelt, um sie zu berechnen, die wir alle gelernt haben. Dann wurde die Frage gestellt: Was passiert, wenn die Kurve die x-Achse nicht schneidet? Dann haben wir offensichtlich eine imaginäre Wurzel und dies trat auf, wenn b ^ 2-4ac . Dies erforderte eine weitere Erweiterung des Zahlensystems benötigt. So wurde das komplexe Zahlensystem erfunden, das Wurzeln negativer Zahlen enthält. Die Natur von „Wurzeln“ bestand also darin, das Zahlensystem über die rationalen Zahlen hinaus zu erweitern.
Antwort
Ich stelle mir vor, Sie meinen „natürlich“ im Sinne von „natürlichem Isomorphismus“. Wenn etwas „natürlich“ oder „kanonisch“ ist, bedeutet dies ungefähr, dass es nicht das Ergebnis einer willkürlichen Wahl ist. Es wird natürlich durch seinen Kontext bestimmt.
Eines der motivierenden Beispiele für ein „natürliches“ Ding ist der Isomorphismus zwischen einem endlichen dimensionalen Vektorraum V und seinem doppelten dualen V ^ {\ vee \ vee}. Der Isomorphismus führt v \ in V zu E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}, wobei E\_v (\ phi) = \ phi (v) für \ phi \ in V ^ \ vee. Sie senden den Vektor v an die Karte E\_v, die zwei Vektoren bei v auswertet. Dies ist natürlich; Es wurden keine willkürlichen Entscheidungen getroffen, sondern sie fielen direkt aus den Definitionen und Beziehungen der beteiligten Objekte heraus.
Es gibt einen anderen Isomorphismus zwischen diesen beiden Räumen oder dem Kurs, aber dieser ist „die richtige Wahl“. Jede andere Wahl wäre unnatürlich; Sie könnten beispielsweise v an E\_ {A (v)} senden, wobei A: V \ an V ein beliebiger linearer Automorphismus von V ist. Aber… warum? Es gibt keinen Grund, A überhaupt einzuführen, da Sie die natürliche Wahl v \ mapsto E\_v direkt vor sich haben. Hoffentlich ist der Unterschied zwischen dem „natürlichen“ und dem „unnatürlichen“ Isomorphismus klar genug.
Andererseits gibt es keinen natürlichen Isomorphismus L: V \ bis V ^ \ vee. Die Konstruktion eines Isomorphismus erfordert willkürliche Entscheidungen. Ich könnte eine Basis b\_1, \ dots, b\_n wählen und L (b\_i) als den Doppelvektor deklarieren, der b\_i zu 1 und alle anderen Basisvektoren zu 0 führt. Dies definiert einen vollkommen feinen Isomorphismus, aber ich könnte genau das Gleiche tun Sache mit jeder anderen Basis und erhalten einen anderen, gleichermaßen gültigen Isomorphismus. Es gibt keine Möglichkeit, eine auf natürliche, von Gott gegebene * Weise auszuwählen.
Dies ist eine sehr grobe, informelle Beschreibung. Es kann (und wird) durch die Kategorietheorie präzisiert werden: Funktoren und natürliche Transformationen bieten die richtige Möglichkeit, darüber nachzudenken, was etwas in einem bestimmten Kontext „natürlich“ macht. Ich habe mein Bestes getan, um meine eigene Intuition für das Konzept zu vermitteln, was meiner Meinung nach ausreichen würde, bis man für die (kate) blutigen Details bereit ist.
* Theologie / Ontologie der Mathematik ungeachtet