Was bedeutet es, dass ein lineares System eine eindeutige Lösung hat?

Beste Antwort

2x + y = 5, x – y = 1 hat eine eindeutige Lösung von x = 2, y = 1. Die Linien 2x + y = 5, x – y = 1 kreuzen sich an einem und nur einem Punkt und das ist (1,2).

Wenn es zwei parallele Linien gibt, wie z x – y = 1 und x – y = 7, dann gibt es keine Lösung für die Gleichungen x – y = 1, x – y = 7.

Wenn 2 Gleichungen tatsächlich gleich sind, wie x – y = 1,5 x – 5y = 5, dann ist jeder Punkt, der auf dieser Linie liegt, eine Lösung wie x = 3, y = 2 oder x = 1.000 y = 999, und es gibt keine eindeutige Lösung.

Es wird ein bisschen interessanter in einer Situation, in der es 3 Variablen gibt, sagen wir x, y, z.

2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 hat eine eindeutige Lösung von x = 1, y = 1, z = 1. Die Ebenen 2x + y + z = 4, x – y = 0, x – z = 0 kreuzen sich an einem und nur einem Punkt und das ist (1,1, 1).

Wenn es drei parallele Ebenen wie x + y + z = 1, x + y + z = 4 und x + y + z = 8 gibt, gibt es keine Lösung für die Gleichungen x + y + z = 1, x + y + z = 4 und x + y + z = 8.

Wenn eine Gleichung eine lineare Kombination von zwei anderen ist, gibt es keine eindeutige Lösung. Hier ist ein Beispiel 2x + y + z = 4, x – y = 0, 3x + z = 4. Nicht nur (1,1,1) ist eine Lösung, sondern auch (2,2, -2) und (3, 3, -7). Tatsächlich gibt es unendlich viele Lösungen.

Der Grund ist, dass eine Gleichung eine lineare Kombination der anderen ist.

3x + z = 4 ist 1 (2x + y + z = 4) +1 (x – y = 0).

Es gibt viele Hinweise darauf, aber hoffentlich gibt Ihnen dies eine Vorstellung davon, was einzigartige Lösungen in linearen Systemen sind.

Antwort

Meine Antwort geht zunächst davon aus, dass dies ein lineares Gleichungssystem im Vergleich zu einem System mit linearen Ungleichungen ist.

Kurze Antwort – Sich gegenseitig ausschließende Optionen: Keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen.

Lange Antwort – Welche Arten von Lösungen es gibt, hängt in gewissem Maße davon ab, wie viele Gleichungen und wie viele Variablen im linearen System vorhanden sind und wie Sie das System beschreiben möchten.

Algebraisch:

• Ein System ohne Lösungen wird als inkonsistentes System . Dies bedeutet, dass es keinen Wertesatz für die Variablen gibt, der gleichzeitig alle Gleichungen im System löst. Das folgende System ist inkonsistent:
• x + 2 y + 6 z = 5
• – x – 2 y – 6 z = 3
• x – 4 y – 2 z = 1
• Ein System mit genau einer Lösung wird als konsistentes, unabhängiges System bezeichnet. Konsistent, weil eine Lösung existiert, und unabhängig, weil jede Gleichung unabhängig von den anderen Gleichungen ist. Dies bedeutet, dass jeder Wert für die Variablen in der Lösung unabhängig von den Werten der anderen Variablen ist. Es gibt genau einen Wertesatz – einen Wert pro Variable -, der gleichzeitig alle Gleichungen im System löst. Das Folgende ist ein konsistentes, unabhängiges System (entnommen aus mathisfun.com) mit der Lösung x = 5 y = 3 z = -2.
• x + y + z = 6
• 2y + 5z = -4
• 2x + 5y – z = 27
• Ein System mit unendlich vielen Lösungen wird als konsistentes, abhängiges System bezeichnet. Dies ist abhängig, da mindestens eine Gleichung im System ein Vielfaches einer anderen Gleichung oder eine Kombination anderer Gleichungen ist. Das heißt, während die anderen Variablen im System nur einen Wert haben, der alle Systeme gleichzeitig löst, können eine oder mehrere Variablen das System mit einem beliebigen Wert lösen. Das Folgende ist ein konsistentes, abhängiges System mit der Lösung y = 1/5 – 4 x / 5; z = 7/5 – x / 5.
• x + y + z = 5
• x + 2 y – 3 z = 3
• 2 x + 3 y – 2 z = 8

Grafisch (3-Variablen-System als Beispiel):

• Ein System mit zwei Variablen kann (normalerweise durch eine Gruppe von Linien in einem zweidimensionalen Diagramm dargestellt werden) xy), während ein System mit drei Variablen eine Sammlung von Linien oder Ebenen in einem dreidimensionalen Graphen (normalerweise xyz) ist.Ein System mit n vielen Variablen wird also in einem n- dimensionalen Graphen dargestellt / li>
• In einem konsistenten, unabhängigen System treffen sich alle Ebenen an einem Punkt (dh 2 Wände und eine Bodenbesprechung an einer Ecke). In dem konsistenten, unabhängigen System, das oben in der algebraischen Antwort verwendet wurde, schneiden sich alle drei Ebenen am Punkt (5,3,2).
• In einer konsistenten , abhängiges System , alle Flugzeuge treffen sich nicht nur an einem Punkt, sondern an einer Linie (dh drei Seiten eines Buchmeetings am Rücken). In dem oben in der algebraischen Antwort verwendeten System schneiden sich alle drei Ebenen an der Linie -5 y + 20 z = 27 (Beachten Sie, dass x ein beliebiger Wert in der Lösung sein kann).
• In einer inkonsistentes System , mindestens zwei Ebenen sind parallel und treffen sich daher nie. Die dritte Ebene kann parallel zu beiden Ebenen sein (d. H. Straßenlinien auf einer Straße) oder sie beide schneiden, jedoch niemals an derselben Stelle. (d. h. gegenüberliegende Wände in einem Raum und an der Decke).