Was bleibt der Rest, wenn 17 ^ 200 durch 18 geteilt wird?


Beste Antwort

\ mathbf {\ text {Erste Lösung.}}

17 ^ {200} \ equiv 17 ^ {200} \ pmod {18}

\ impliziert 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ impliziert 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ text {Zweite Lösung unter Verwendung des Euler-Theorems.}}

\ text { (17, 18) sind relativ prim. Wir können den Satz von Euler verwenden.}

\ text {Totientenfunktion von Euler.}

\ varphi (18) = 18 \ left (1 – \ dfrac {1} {2} \ rechts) \ links (1 – \ dfrac {1} {3} \ rechts) = 18 \ links (\ dfrac {1} {2} \ rechts) \ links (\ dfrac {2} {3} \ rechts) = 6

17 ^ {6} \ equiv 1 \ mod {18}

\ impliziert (17 ^ {6}) ^ {33} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ impliziert 17 ^ {198} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ impliziert 17 ^ {200} \ equiv 17 ^ 2 \ pmod {18}

\ impliziert 17 ^ {200} \ equiv (-1) ^ 2 \ pmod {18}

\ impliziert 17 ^ {200} \ equiv 1 \ pmod {18}

\ mathbf {\ also \, \, \ text {1 ist der Rest, wenn} \, \, 17 ^ {200} \, \, \ text {durch 18 geteilt wird}}

Antwort

Wir wollen den Rest, wenn 17 ^ {200} durch 18 geteilt wird.

17 \ equiv (-1) \ pmod {18}.

\ Rightarrow \ qquad 17 ^ {200} \ pmod {18} \ equiv (-1) ^ {200} \ pmod {18}

\ qquad \ equiv 1 \ pmod {18} \ equiv 1.

\ Rightarrow \ qquad Der Rest, wenn 17 ^ {200} durch 18 geteilt wird, ist 1.

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