Beste Antwort
Multiplizieren Sie mit 1-cosX in Zähler und Nenner.
{(1-cosx) × (1-cosx)} / {(1 + cosx) × (1-cosx)}
Nun, Sie kann im Zähler sehen, dass es (1-cosx) ^ 2
ist. geben Sie es als
aus ( ab) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2–2 × a × b
Und im Nenner komprimieren Sie es als
(ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2
Nun gibt es (1 + cos ^ 2x-2 × cosx) / (1-cos ^ 2x)
Eine andere Formel, die wir im Nenner verwenden, um sie zu komprimieren.
Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1
1 -cos ^ 2x = sin ^ 2x
Nun (1 + cos ^ 2x-2 × cosx) / sin ^ 2x
Teilen Sie jedes mit sin ^ 2x, um das Ergebnis zu erhalten.
Dh 1 / sin ^ 2x + cos ^ 2x / sin ^ 2x-2 × cosx / sin ^ 2x
Dh Cosec ^ 2x + cot ^ 2x-2 × cotx × cose cx
Dies ist die Lösung der gegebenen Frage.
Lösungsformel für die letzte Zeile:
Sinx × cosecx = 1
Oder cosecx = 1 / sinx
Beim Quadrieren beide Seiten,
Cosec ^ 2x = 1 / sin ^ 2x
Cosx / sinx = cotx
Beim Quadrieren beider Seiten
Cos ^ 2x / sin ^ 2x = cot ^ 2x
2 × cosx / sinx × 1 / sinx
Dh 2 × cotx × cosecx
Vielen Dank.
Antwort
Methode 1:
\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ right ) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos ^ 2 \ frac x2- \ sin ^ 2 \ frac x2} {\ cos ^ 2 \ frac x2 + \ sin ^ 2 \ frac x2-2 \ sin \ frac x2 \ cos \ frac x2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ left (\ cos \ frac x2 + \ sin \ frac x2 \ right) \ links (\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2 \ rechts)} {\ links (\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2 \ rechts) ^ 2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos \ frac x2 + \ sin \ frac x2} {\ cos \ frac x2- \ sin \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {-1} \ left (\ fr ac {1+ \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac x2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ tan \ frac {\ pi } {4} + \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac x2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ links (tan \ left (\ frac {\ pi} {4} + \ frac x2 \ right) \ right)
= \ frac {\ pi} {4} + \ frac x2
Methode 2:
\ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ cos x} {1- \ sin x} \ right) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ frac {1- \ tan ^ 2 \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2}} {1- \ frac {2 \ tan \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2}} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1- \ tan ^ 2) \ frac x2} {1+ \ tan ^ 2 \ frac x2-2 \ tan \ frac x2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {\ left (1) + \ tan \ frac x2 \ rechts) \ links (1- \ tan \ frac x2 \ rechts)} {\ links (1- \ tan \ frac x2 \ rechts) ^ 2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {1+ \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac x2} \ right)
= \ tan ^ {- 1} \ links (\ frac {\ tan \ frac {\ pi} {4} + \ tan \ frac x2} {1- \ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac x2} \ rechts)
= \ tan ^ {- 1} \ left (tan \ left (\ frac {\ pi} {4} + \ frac x2 \ right) \ right)
= \ frac {\ pi } {4} + \ frac x2