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Die „wesentliche“ Ableitung, auch als „Gesamtableitung“ bezeichnet oder „konvektive“ Ableitung ist nicht wirklich eine andere Ableitung , sondern eine Ableitung einer anderen -Funktion .
Sei \ lambda (x, t) eine gegebene Funktion von Raum und Zeit. Die Differenzierung von \ lambda in Bezug auf die Zeit unter Beibehaltung der Raumvariablen ergibt die übliche Teilzeitableitung. Betrachten Sie nun eine „zusammengesetzte Funktion“ g (t) = \ lambda (X (t), t), dh wir bewerten \ lambda entlang der Kurven X (t) im Raum, die durch eine skalare Variable t verfolgt werden. Die Ableitung von g ist die wesentliche (gesamte, konvektive) Ableitung von \ lambda. Somit ist die wesentliche Ableitung die Ableitung der Zusammensetzung der Funktionen \ lambda und X.
Antwort
In Andersons 6. Ausgabe von Fundamentals of Aerodynamics erklärt er die Gesamtableitung mit ein physikalisches Beispiel. Die Gesamtableitung hat einen konvektiven Term (mit dem Nabula-Punkt V) und einen Zeitterm (mit der teilweisen Berücksichtigung von t). Hier ist das physikalische Beispiel.
Sie sind auf einer Wanderung und über eine Höhle stolpern. Sie beschließen, die Höhle zu betreten, aber gleich wenn Sie die kühle Höhle betreten, schlägt Ihnen Ihr Freund mit einem Schneeball ins Gesicht. Sie spüren also zwei Kältequellen. Der erste ist von Ihrem Standortwechsel – Sie ziehen in die Höhle. Die zweite stammt von Ihrem Freund, der Sie in diesem Moment mit dem Schneeball schlägt.
Somit ist die Temperatur die Variable, von der wir die Gesamtableitung nehmen, und die Höhle liefert den konvektiven Begriff, und der Schneeball bildet die Zeit Begriff.
Es wird häufig in der Aerodynamik verwendet, da wir ein Fluidelement betrachten, das sich in einer Strömung bewegt (denken Sie nur an ein kleines Volumen, das Sie verfolgen). Die wesentliche Ableitung gibt Auskunft über dieses sich bewegende -Element. Wenn es sich nicht bewegte, könnten Sie die wesentliche Ableitung in Bezug auf die Zeit durch nur die partielle Ableitung ersetzen. Da sich das Partikel jedoch bewegt, erklärt der konvektive Begriff die Eigenschaft, die sich zwischen den Standorten ändert.