Beste Antwort
T\_n (x), das n-te Chebyshev-Polynom der ersten Art, erfüllt
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
Wir sind hinter T\_ {10} (x). Wir kennen die ersten paar:
T\_0 (x) = 1 \ quad weil \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad weil \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad, weil \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad, weil \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
Wir können die Potenzen von zwei leicht berechnen,
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2 – 1 = 8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8 – 256 x ^ 6 + 160 x ^ 4 – 32 x ^ 2 + 3
Im Allgemeinen ist T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x)), was ziemlich schnell aus \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
Die T\_n (x) erfüllen die Wiederholung
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n-1 } (x)
Da T\_0 (x) und T\_1 (x) ganzzahlige Koeffizienten haben, sagt uns die Wiederholung, dass alle T\_n (x) ganzzahlige Koeffizienten haben.
Lassen Sie uns die Wiederholung ableiten . Wir beginnen mit dem Nachweis einer Triggeridentität, einer alternativen Summenwinkelformel, die nur den Kosinus verwendet:
\ cos (A + B) + \ cos (A – B) = \ cos A \ cos B – \ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B – \ cos (AB)
Nun ist
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta – \ cos (( n-1) \ theta)
oder x = \ cos \ theta
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x) – T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
Jetzt können wir T\_ {10} (x) ziemlich einfach berechnen,
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x) – T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4 – 8x ^ 2 + 1) – (4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5 – 20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2 – 1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10} – 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 – 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 – 1
Wir erhalten also endlich unsere Antwort:
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta – 1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta – 400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta – 1
Antwort
Lassen Sie x = Theta, um meine Eingabe zu vereinfachen.
Denken Sie daran, dass die Multiplikation wiederholt wird d Addition.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
Eine Möglichkeit, cos (10x) zu finden, besteht darin, das anzuwenden Identität für den Cosinus der Summe zweier Winkel 9-mal, zusammen mit der ähnlichen Identität für Sinus.
cos (A + B) = cos (A) cos (B) – sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x) – sin (9x) sin ( x)
Ersetzen Sie nun das 9x durch 8x + x
und wenden Sie die Identitäten erneut sorgfältig an, ohne die bereits im Problem enthaltenen cos (x) und sin (x) zu verlieren.
Dann überall dort, wo Sie 8x sehen, ersetzen Sie es durch 7x + x und wenden Sie die Identitäten erneut an.
Machen Sie weiter…
Vielleicht möchten Sie sich nach oben arbeiten
Finden Sie cos (3x), dann cos (4x) usw.
Fragen Sie sich während der Arbeit, ob es einen schnelleren Weg gibt.
Sobald wir eine Formel für
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) haben – sin (x) sin (x)
Sie könnten versuchen,
an cos (4x) als cos (2x + 2x)
und cos (8x) zu denken ) als cos (4x + 4x).
Dann cos (10x) als cos (8x) + cos (2x).
Sie könnten Sie möchten auch das Ergebnis für cos (2x) vereinfachen und möglicherweise eine pythagoreische Identität verwenden, um das Problem nur in Bezug auf den Cosinus ohne Sinus im Ergebnis beizubehalten.