Beste Antwort
Ich weiß, wonach Sie fragen, aber bitte lernen Sie die Schreibkonventionen. Es sollte cos (1/2) geschrieben werden.
Um Ihre Frage zu beantworten, müssen Sie hier einen Taschenrechner verwenden. Ich kann das auf keinen Fall von Hand berechnen. Eine andere Sache ist der Wert im Bogenmaß oder Grad. Ich werde beide hier geben. Es ist 0,99996 in Grad und 0,8775 im Bogenmaß.
Antwort
Nicht wenige Leute sind verärgert, wenn jemand behauptet, 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12 . Ich gehöre nicht zu diesen Leuten, aber ich denke , wenn Sie anfangen, eine solche Behauptung aufzustellen, sollten Sie sich klar darüber sein, was es ist das meinst du.
Wenn du eine unendliche Summe von Elementen a\_n definierst, definierst du sie normalerweise als:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N. \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
Wenn die Grenze existiert und einen endlichen Wert hat, sagen wir, dass die unendliche Summe konvergiert , und wir sagen, dass es gleich dieser Grenze ist. So zum Beispiel:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1 – 2 ^ {- N} = 1
Es gibt jedoch viele unendliche Summen, die divergieren , und wir weisen diesen normalerweise keinen Wert zu. Ein Beispiel davon:
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {existiert nicht.}
Man kann auch Überprüfen Sie Folgendes:
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
, das nicht konvergiert – also die Reihe 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots ist divergent, und daher weist ihm die übliche Grenzwertdefinition keinen Wert zu.
Es gibt jedoch Möglichkeiten, wie Sie kann diese Definition erweitern. Das heißt, Sie können Wege finden, um divergenten Reihen einen endlichen Wert zuzuweisen, die immer noch mit den Werten übereinstimmen, die wir auf übliche Weise für konvergente Reihen erhalten.
Das Problem ist, dass seit diesen Methoden durch Ihre Natur entspricht eigentlich nichts Physikalischem *. Das Beste, was wir hoffen können, ist, dass solche Methoden schöne formale Eigenschaften haben. Insbesondere möchten wir darum bitten, dass sie die folgenden Axiome erfüllen:
1.) (Regelmäßigkeit) Wenn \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n konvergent ist, stimmt die Summationsmethode mit der überein übliche Methode zur Grenzüberschreitung.
2.) (Linearität) Wenn \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A und \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B summierbar sind dann haben wir \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B. Wenn r eine reelle Zahl ist, dann ist \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (Stabilität) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n – 1}.
Diese Axiome sind sehr nützlich. Zum Beispiel zeigen Sie, dass jede Summierungsmethode, die diese drei Axiome erfüllt, 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1 auswerten muss, da:
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
Beachten Sie, dass sowohl Linearität als auch Stabilität eine wichtige Rolle bei diesem Beweis spielen. Durch die Stabilität können wir die 1 vor uns „herausziehen“, und durch die Linearität können wir die 2 herausrechnen.
Jede solche Summierungsmethode muss auch 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 / auswerten. 2. Der Beweis ist ähnlich:
s = 1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + \ ldots) = 1 – s
Es wird jedoch divergierende Reihen geben, die mit keiner Summierungsmethode bewertet werden können, die diese drei Axiome erfüllt. Nehmen wir zum Beispiel an, wir könnten der Reihe 1 + 1 + 1 + \ ldots einen endlichen Wert s zuweisen. Dann hätten wir:
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
Ups. Es wird leider noch schlimmer, weil daraus folgt, dass keine Summationsmethode, die diese drei Axiome erfüllt, auch 1 + 2 + 3 + \ l Punkte auswerten kann, da:
(1 + 2 + 3 + \ l Punkte) ) – (1 + 2 + 3 + \ Punkte) = (1 + 2 + 3 + \ Punkte) – (0 + 1 + 2 + 3 + \ Punkte) (nach Stabilität) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (nach Linearität)
Wenn Sie also eine Summationsmethode definieren möchten, die 1 + 2 + 3 + \ ldots auswertet, müssen Sie entweder die Linearität oder die Stabilität wegwerfen. Es gibt verschiedene Ansätze – einige opfern einen, andere opfern den anderen.
Dies ist leider ein Hinweis darauf, wie die Summierung divergierender Reihen abläuft: Sie haben viele verschiedene Methoden, um sie zu summieren, und sie tun dies nicht stimme immer zu. Sie stimmen oft für wichtige Reihen überein, aber wenn Sie etwas wie 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12 behaupten, sollten Sie unbedingt klarstellen, welche Summationsmethode Sie gerade verwenden.
Als Zahlentheoretiker ist mein Lieblingsansatz die Regularisierung von Zeta-Funktionen. Das grundlegende Beispiel hierfür ist das folgende: Betrachten Sie die Riemann-Zeta-Funktion \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}.
Diese Formel lautet nur konvergent, wenn der Realteil von s größer als 1 ist.Es gibt jedoch eine Standardmethode, um die Riemann-Zeta-Funktion auf eine Funktion auf der gesamten komplexen Ebene zu erweitern (Sie haben zwar einige Pole, aber das ist zwar wichtig, aber ein technisches Problem) – dies wird als analytisch bezeichnet Fortsetzung, die Sie explizit erhalten, indem Sie eine Funktionsgleichung für die Zeta-Funktion finden.
Wenn Sie die analytische Fortsetzung verwenden, finden Sie \ zeta (-1) = -1/12. Wenn Sie dies jedoch in Ihren ursprünglichen Ausdruck der Zeta-Funktion „einstecken“, erhalten Sie:
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {- 1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
So funktioniert die Regularisierung von Zetafunktionen: Sie ordnen Ihrer Serie eine Zetafunktion zu und verwenden Sie dann die analytische Fortsetzung, um der Serie einen endlichen Wert zuzuordnen.
Dies ist in vielerlei Hinsicht ein formales Spiel, das, obwohl es interessant ist, wahrscheinlich nicht als etwas Greifbares angesehen werden sollte.
* Ja, mir ist bewusst, dass divergierende Reihen und Integrale bei Berechnungen in der Quantenfeldtheorie verwendet werden. Ich würde jedoch argumentieren, dass solche Methoden eher ein Rechenwerkzeug sind als eine physikalische Interpretation dessen, was tatsächlich vor sich geht. Außerdem haben wir derzeit kein mathematisch strenges Modell der Quantenfeldtheorie, so dass jede ungerade Chimäre, die nicht sein sollte, noch neu interpretiert oder vollständig entfernt werden kann.