Beste Antwort
Der Cos2theta-Wert ist
Dh cox2x = cos (x + x)
Die Formel für cos (a + b) lautet cosa.cosb-sina.sinb
Hier ist a = x &, b = x
Dann setzen Sie die Wert, s von a & b
Wir haben
Cos2x = cosx.cosx-sinx.sinx.
Cos2x = cos²x-sin²x.
Hier wissen wir, dass sin²x = 1 – cos²x ist, und setzen dann
Cos2x = cos²x- (1 – cos²x),
= cos²x – 1+ cos²x
Cos2x = 2cos²x- 1 Dies ist ein anderer Wert für den Cos-Doppelwinkel.
Cos2x + 1 = 2cos²x ist auch ein Wert für cos
± Unterwurzel cos2x + 1/2 = cos²x
Antwort
„Was ist x wenn 2 \ sin (x) = \ cos (x) ? „
Wir haben Folgendes:
2 \ sin (x) = \ cos (x)
Subtrahieren Sie beide Seiten von \ cos (x), jetzt haben wir:
2 \ sin (x) – \ cos (x) = 0
Jetzt wollen wir keine fehlenden Wurzeln mehr, also bemerken wir, dass wir ein \ cos (x) herausrechnen können. Dies führt zu:
\ cos (x) \ left (2 \ dfrac {\ sin (x)} {\ cos (x)} – 1 \ right) = \ cos (x) (2 \ tan (x) – 1) = 0
Und durch die Nullprodukt-Eigenschaft ( auch als Nullfaktorgesetz ) muss ein Produkt aus zwei Nicht-Null-Elementen zu einem Nicht-Null-Produkt führen, dh wenn wir ab = 0 haben, dann ist entweder a = 0 oder b = 0
Von oben ist also entweder \ cos (x) = 0 oder 2 \ tan (x) – 1 = 0. Wir könnten also zwei Bedingungen haben. Aber mal sehen, ob einer den anderen verletzt. Lösen wir zuerst nach \ cos (x) = 0. Nun, das ist einfach.
\ cos (x) = 0 \ iff x = \ arccos (0) = \ dfrac {\ pi} {2} + \ pi k, k \ in \ Z.
Aber warte, wir sind zu schnell reingegangen. Beachten Sie, dass \ tan (x) = \ sin (x) / \ cos (x) überhaupt nicht \ cos (x) = 0 haben kann, da dies zu einer Division durch 0 führen würde und dies das Ergebnis undefiniert . Daher würde das Ergebnis x = \ pi / 2 + \ pi k die obige Gleichung verletzen, da wir im zweiten Term \ tan (x) haben, so dass wir es ignorieren können. Lösen wir diesen zweiten Term.
2 \ tan (x) – 1 = 0
\ tan (x) = \ dfrac {1} {2}
Nehmen Sie die inverse Tangente beider Seiten der Gleichung:
x = \ arctan (1/2)
Und wir wissen, dass die Funktion \ tan (x) mit einer Periode periodisch ist von \ pi. Dann wäre dieses Ergebnis für alle x = \ arctan (1/2) + n \ pi, n \ in \ Z gültig.
Und wir sind fertig.
Hinweis: I. Ich weiß, wir können einfach beide Seiten durch \ cos (x) teilen und sofort 2 \ tan (x) = 1 erhalten. Dies ist jedoch ein häufiger Fehler, den die meisten Menschen machen. Stellen Sie sicher, dass Sie dies für diese spezielle Frage tun können, ohne einige -Wurzeln (oder Nullen, je nachdem, wie Sie sie nennen ) zu verlieren, da es einfach vorkommt, dass die Lösung für \ cos (x) = 0 ist ungültig. Bei einigen komplizierteren Fragen können Sie sich jedoch in Schwierigkeiten befinden, wenn Sie nur diese schnelle Unterteilung vornehmen. Sie müssen alle Wurzeln bestätigen, die in der Gleichung vorhanden sein können oder nicht, um die zu erhalten richtige Lösung. Denken Sie daran.