Beste Antwort
Die Frage, die Sie stellen, macht keinen Sinn. Ich gehe davon aus, dass es cos (20 °) ist.
Wir wissen, was cos (60 °) ist, und das Gute ist 60 ° = 3 * 20 °.
Wir kennen cos ( 3θ) = 4cos ^ 3 (θ) – 3cos (θ)
Setzen Sie θ = 20 ° in die obige Identität und nehmen Sie an, dass t = cos (20 °)
1 ist / 2 = 4 * t ^ 3–3t
8 * t ^ 3–6t-1 = 0.
Sei p (t) = 8 * t ^ 3–6t- 1
p (-1) = – 3, p (-1/2) = 1, p (0) = – 1 und p (1) = 1, impliziert dies, dass p drei reelle Wurzeln hat von denen nur eine positiv ist (die zwischen 0 und 1 liegt).
Wie wir wissen, ist cos (20 °) eine positive Zahl, dann ist die positive Wurzel des obigen Polynoms der Wert von cos (20) °).
Einige Schätzungen unter Verwendung der Halbierungsmethode mit 2–3 Iterationen ergeben 0,94.
Also cos (20 °) = 0,94 (ungefähr)
Antwort
Sie sollten es anhand der Triggeridentität finden können: \ sin (3x) = 3 \ sin (x) – 4 \ sin ^ {3} (x)
(Ich nehme an, dass dies von der Identität abgeleitet ist: sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y), aber zweimal verwendet. Um ehrlich zu sein, habe ich es einfach nachgeschlagen. )
Nun, da wir das wissen, machen Sie x = 20.
\ sin (60) = 3 \ sin (20) – 4 \ sin ^ {3} ( 20)
Nehmen Sie dann zwei Substitutionen vor. \ sin (60) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} und y = sin (20)
\ frac {\ sqrt {3}} {2} = 3y – 4y ^ { 3}
Und dann mit einigen Manipulationen:
y ^ {3} – \ frac {3} {4} y + \ frac {\ sqrt {3}} {8} = 0
Alles, was bleibt, ist nach y zu lösen. Das Lösen von Kubik von Hand ist ein Schmerz , aber ich werde Sie hier darauf hinweisen: Wie kann ich eine Gleichung dritten Grades lösen? Dann werde ich ein bisschen mit den Händen winken und es hier lösen: Computational Knowledge Engine
Sie erhalten 3 Lösungen. Ein Negativ (nicht korrekt), die anderen beiden sind ungefähr .34 und .64.
Welches ist es? sin (30) = 0,5, und da wir wissen, dass die Sinusfunktion auf 90 Grad ansteigt, beträgt die Lösung ungefähr 0,34.
Was ist also die genaue Lösung? Laut Wolfram Alpha:
Dies sollte eine reelle Zahl ergeben, aber ich werde dieses Durcheinander nicht für Sie vereinfachen
Es genügt zu sagen, dass dies möglich ist, aber es ist nicht überraschend, dass große Kopfschmerzen auftreten.