Beste Antwort
Auf dem Einheitskreis ist die x-Koordinate cos (x).
Nehmen Sie die Grenze, wenn sich x 90 Grad nähert. Was Sie sehen, ist, dass sich die x-Koordinate 0 nähert, weil sich der Radius einer senkrechten Linie nähert (also keine x-Komponente).
Nehmen Sie die linke Grenze und es ist dieselbe.
Das Dreieck bricht natürlich zusammen.
Hier ist ein Bild zur Hilfe:
Wie Sie sehen, wird die graue Linie (cosx) immer kleiner.
Das ist es. Cos (90) ist 0. Das ist 90 Grad und nicht Bogenmaß.
Wenn im Bogenmaß, dann ist es so etwas wie -0,448073616129.
Antwort
Lassen Sie mich Ihnen einen -Komplex geben Antwort.
Sei \ frac {A} {2} = x.
Also, A = 2x
Wir haben,
\ cos ^ 2 (x) – \ sin ^ 2 (x) = \ cos (2x)
Nehmen wir die Eulers-Formel,
e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
Wenn wir uns an diese Formel erinnern, können wir verstehen, dass
\ cos (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta), da nur \ sin eine ungerade Funktion ist, ist f (-x) = – f ( x) und \ cos ist gerade, f (-x) = f (x)
e ^ {ix} + e ^ {- ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin ( \ theta) + \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
= 2 \ cos (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2} = \ cos (\ theta)
Wir erhalten also die Formel.
Auch für \ sin
\ sin (\ theta) = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}
e ^ {ix} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)
-e ^ {- ix} = – \ cos (\ theta) -i \ sin (\ theta)
e ^ {ix} -e ^ {-ix} = (\ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)) – (- i \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta))
= 2i \ sin (\ theta)
\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} = \ sin (\ theta)
Wobei i die imaginäre Einheit ist . (i ^ 2 = -1)
Nun wollen wir auswendig die Formel für \ cos (2x) (durch Plugin von x mal 2x)
\ cos (2x) = \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Beginnen wir mit der Ableitung unserer Formel.
Beginnen wir mit \ cos ^ 2 (x),
\ cos ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {- ix}) (e ^ {ix} + e ^ {- ix})} {4}
Wenn wir uns erweitern, erhalten wir
\ frac {(e ^ {ix}) ^ 2 + 2e ^ {ix} e ^ {- ix} + (e ^ {- ix }) ^ 2} {4}
Nun, {a ^ b} ^ c = a ^ {bc}, a ^ b \ mal a ^ c = a ^ {b + c},
(Also, (e ^ {ix}) ^ 2 = e ^ {2ix}, (e ^ {- ix}) ^ 2 = e ^ {- 2ix}, e ^ {ix} e ^ { -ix} = e ^ {ix + (- ix)} = e ^ 0 = 1)
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4}
Berechnen wir nun \ sin ^ 2 (x)
\ sin ^ 2 (x) = \ frac {(e ^ {ix} -e ^ {- ix}) (e ^ {ix} -e ^ {- ix})} {- 4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Wenn wir \ sin ^ 2 (\ theta) von \ cos ^ 2 (\ theta) subtrahieren, erhalten wir
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + 2} {4} – \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {- 4}
Wir stornieren die Minuspunkte im Nenner von \ sin ^ 2 (\ Theta),
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} +2} {4} + \ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2} {4}
Wenn wir addieren, können wir -2 + 2 auf 0 abbrechen. Danach erhalten wir
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {2e ^ {2ix} + 2e ^ {- 2ix}} {4}
\ frac {(2) (e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix})} {4}
\ frac {e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {2}
Dies ist die gleiche Formel für \ cos (2x) wie zuvor beschrieben. Daher bewiesen.
Aber wir haben noch etwas zu tun. Plugin, 2x = A,
\ frac {e ^ {Ai} + e ^ {- Ai}} {2}
, das ist die gleiche Formel für cos (A)
Also, \ cos ^ 2 (\ frac {A} {2}) – \ sin ^ 2 (\ frac {A} {2}) = \ cos (2A)
Vielen Dank für A2A