Beste Antwort
cot θ = 1 / tan θ
cot (0 °) = 1 / tan (0 °) = 1/0; undefiniert
In der Mathematik ist jede durch Null geteilte Zahl undefiniert.
Antwort
Mathematische Fragen werden viel einfacher, wenn Sie die Definition für die betreffenden Begriffe kennen . Wie ist \ cot (x) definiert? Sobald wir das wissen, sollten wir in kurzer Zeit in der Lage sein, eine Antwort zu erhalten. Es mag Sie überraschen, zu erfahren, dass Mathematiker (in dem Bestreben, Begriffe so allgemein wie möglich zu halten) diese Funktion weder geometrisch noch in Bezug auf andere „Trigger“ -Funktionen definieren. Sie definieren es tatsächlich wie Dies unter Verwendung einer Reihenrepräsentation.
Oder genauer gesagt, sie definieren es unter Verwendung dieser Reihe für 0 x pi. Für x = 0, \ pi (und jedes andere ganzzahlige Vielfache von \ pi) ist die Funktion nicht definiert. Sie erweitern dann die Definition für alle nicht ganzzahligen Vielfachen von \ pi, indem sie feststellen, dass die Funktion mit der Periode \ pi periodisch ist. Mit anderen Worten, \ forall x \ ne n \ pi (für jedes n \ in \ mathbb Z) sagen wir, dass \ cot (x) = \ cot (x- \ pi). Auf diese Weise können wir die Funktion für jedes andere x in der Domäne bewerten. So zum Beispiel:
\ cot (1000) = \ cot (1000- \ pi) = \ cot (1000-2 \ pi) = \ ldots = \ cot (1000-318 \ pi)
Und da 0 000-318 \ pi pi, können wir unsere Seriendarstellung verwenden, um \ cot (1000-318 \ pi) auszuwerten und damit den Wert von \ cot (1000) zu kennen.
Nachdem wir die Definition der Funktion verstanden haben, lernen wir zwei Dinge. Erstens wissen wir, dass es, wenn es eine Lösung gibt, unendlich viele Lösungen geben muss, da für jede Lösung, die Sie finden, wahr sein muss, dass n \ pi mehr als diese Lösung auch eine Lösung für jedes n \ in \ mathbb Z ist. Zweitens Wir wissen, dass das Finden einer Lösung das Finden eines Wertes von x bedeutet, für den die unendliche Reihe Null ist. Das scheint eine entmutigende Aufgabe zu sein.
Glücklicherweise können wir tatsächlich zeigen, dass diese Seriendarstellung impliziert, dass für 0 pi \ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} { \ sin (x)}. Wenn also \ cot (x) = 0 ist, muss es auch wahr sein, dass \ cos (x) = 0 ist. Das ist kein großer Gewinn, da die Kosinusfunktion auch als unendliche Reihe definiert ist, aber es ist eine viel einfachere Reihe. Und es ist eine Funktion, die die meisten Leute gut genug verstehen, um zu wissen, dass der einzige Wert von x zwischen Null und pi, für den er gleich Null ist, \ frac \ pi 2 ist. (Das Ergebnis dieser Serie zu beweisen, ist ein Stück Arbeit, das ich gewonnen habe t in.)
Wir lernen also, dass x = \ frac \ pi 2 eine Lösung ist, und wir haben bereits gezeigt, dass jedes ganzzahlige Vielfache von \ pi, das von dieser Lösung entfernt ist, auch eine Lösung ist. Die Menge der Lösungen muss also sein:
\ {x | x = \ frac \ pi 2 + n \ pi \ text {für einige} n \ in \ mathbb Z \}