Beste Antwort
Es ist verlockend zu schreiben
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
Dann könnten wir
\ schreiben sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {- i \ pi / 2}} = e ^ {- i \ pi / 4} = (1 – i) / \ sqrt {2}
Das ergibt die Summe:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
Ich mag das für ein paar nicht so sehr Gründe dafür. Zunächst wird die Frage ignoriert, wie viele Werte \ sqrt {i} hat.
Wir haben das auf eine reelle Zahl angewendete Radikal als Hauptwert definiert, sodass y = \ sqrt {x} eine Funktion ist . Der Hauptwert einer komplexen Quadratwurzel ist komplexer (eine Regel wie der kleinste nicht negative Winkel) und funktioniert nicht so gut.
Meiner Ansicht nach ist die beste Politik zu sagen, wir haben zwei Quadratwurzeln . \ sqrt {i} ist mehrwertig, genau wie i ^ {\ frac 1 2}.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Das zweite Problem, das ich mit der Exponentialformulierung habe, ist der sofortige Sprung zu Polarkoordinaten. Wir gehen automatisch einen gewundenen Weg, der transzendentale Funktionen und deren Umkehrungen beinhaltet. Die Quadratwurzel einer komplexen Zahl erfordert dies nicht. Wir können
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ überprüfen textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
wo wir einen nicht standardmäßigen \ textrm benötigen {sgn} (0) = + 1.
Wir haben a = 0, b = 1, also
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2}) + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
Keine Triggerfunktionen erforderlich. In ähnlicher Weise ergibt a = 0, b = -1
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
Die Summe scheint vier zu haben Mögliche Werte:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
Lassen Sie uns die Werte in Klammern berechnen.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i) – (1-i) = 2i
– (1 + i) + (1-i) = – 2i \ quad – (1 + i) – (1-i) = – 2
also haben wir tatsächlich vier Werte, \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
Wir können dies schreiben als
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad für die Ganzzahl k
Es gibt noch ein weiteres Problem, das berücksichtigt werden muss. Wenn wir manchmal Ausdrücke schreiben, die als konjugiert erscheinen, bedeutet dies, dass bei Berücksichtigung mehrerer Werte die konjugierte Beziehung beibehalten wird. Ein Beispiel ist die niedergedrückte Kubik:
x ^ 3 + 3px = 2q hat Lösungen
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q – \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
Jede dieser Kubikwurzeln hat drei Werte über den komplexen Zahlen. Aber die Kubik selbst hat nur drei Lösungen. Obwohl wir vielleicht versucht sind, diesen Ausdruck als neun verschiedene Werte zu interpretieren, wissen wir, dass es nur drei sein sollen. Die beiden Kubikwurzeln sollen Konjugate sein und müssen daher als solche gepaart werden.
In dieser Interpretation fügen wir immer Konjugate hinzu, damit wir nur die tatsächlichen Lösungen erhalten:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} oder (- (1 + i) – (1-i)) / \ sqrt {2 } Das ist \ pm \ sqrt {2}.
Wenn wir schließlich das Radikal als Hauptwert interpretieren, erhalten wir \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2} in der erster Quadrant, und wir müssen zwischen dem zweiten und vierten Quadranten für den Hauptwert von \ sqrt {-i} wählen. Die Regel „kleinster positiver Winkel“ schlägt den zweiten Quadranten \ sqrt {-i} = (- 1 + i) / \ sqrt {2} vor, also
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
Ein bisschen chaotisch, all diese unterschiedlichen Interpretationen.
Antwort
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {und} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} = – \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega is die dritte Wurzel der Einheit: z ^ 3 = 1.
Die Wurzeln dieser Gleichung sind: 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
Wir haben: u ^ 3 = 2 + 2i und (-1 + i) ^ 3 = (- 1 + i) ^ 2 (-1 + i) = – 2i (-1 + i) = 2 + 2i
Also:
\; \; \; \; \; U ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (- 1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {- 1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (- 1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
Also:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
Wir erhalten:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i)} = – 2 \\\ text {oder} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {oder} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((- 1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(- 1 + i) \ left (- \ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3