Beste Antwort
Wenn Sie nicht trollen, dann möchten Sie vermutlich den genauen Wert von \ sin 38. (Warum? Wer weiß.) Ich werde beschreiben, wie man genau zu diesem Wert kommt. Wir verwenden zwei Behauptungen. Wenn wir den genauen Wert von \ sin x kennen, können wir den genauen Wert von \ sin nx für alle ganzen Zahlen n berechnen. Wenn wir den genauen Wert von \ sin x kennen, können wir auch den genauen Wert von \ sin \ frac {x} {3} berechnen.
Das Obige bedeutet, dass wir \ sin finden sollten 1, dann könnten wir \ sin N für jede ganze Zahl N finden.
Also beweisen wir die Behauptungen:
Behauptung 1 : Wenn wir den genauen Wert von \ sin x kennen, können wir den genauen Wert von \ sin nx für die positive ganze Zahl n finden. (Die negativen Werte folgen).
Beweis : Wir verwenden Induktion für n. Offensichtlich gilt die Behauptung für n = 1. Bevor Sie fortfahren, beachten Sie, dass die Kenntnis von \ sinx die Kenntnis von \ cos x impliziert. Nun ist \ sin (n + 1) x = \ sin (nx + x) = \ sin nx \ cos x + \ cos nx \ sin x und wir sind fertig.
Behauptung 2 : Wenn wir den genauen Wert von \ sin x kennen, können wir den genauen Wert von \ sin \ frac {x} {3} ermitteln.
Beweis : Dieser ist interessanter. Für das Argument sei \ sin \ frac {x} {3} = a. Jetzt ist \ sin x = 3 \ sin \ frac {x} {3} −4 \ sin ^ 3 \ frac {x} {3} oder 4a ^ 3–3a + \ sin x = 0, wo wir \ sin x kennen. Da dies eine Kubik ist, kann sie genau gelöst werden.
Wir kennen \ sin 36 und \ sin 30, also kennen wir \ sin 6 und damit \ sin 3 und schließlich \ sin 1.
Antwort
19pi / 8 = 2pi + 3pi / 8
3pi / 8 = pi / 2-pi / 8
sin (3pi / 8) ) = sin (pi / 2-pi / 8) = cos (pi / 8)
pi / 12 = 2pi / 24 = pi / 8-pi / 24
pi / 8 = pi / 12 + pi / 24
cos (pi / 8) = cos (pi / 12) * cos (pi / 24) -sin (pi / 12) * sin (pi / 24)
pi / 24 = (pi / 12) / 2 = a sin (pi / 12) = 0,2588 = sin (2 · pi / 24) = 2sin (a) cos (a) cos (pi / 12) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) = cos (a) ^ 2-sin (a) ^ 2 = 1–2sin (a) ^ 2
sin (a) = sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = sin (pi / 24)
cos (a) = sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2) = cos (pi / 24)
cos (pi / 8) = sqrt (1-0,2588 ^ 2) * sqrt (1- (1-sqrt (1-0,2588 ^) 2)) / 2) -0,2588 * sqrt ((1-sqrt (1-0,2588 ^ 2)) / 2)
S0 es geht.