Beste Antwort
Wenn wir die trigonometrischen Tabellen nicht verwenden möchten, können wir einen ungefähren Wert von \ tan 27 erhalten ^ o unter Verwendung der Taylor-Erweiterung von \ tan x.
Die Taylor-Reihe einer reellen oder komplexwertigen Funktion f (x), die bei einer reellen oder komplexen Zahl a unendlich differenzierbar ist, ist gegeben durch
f (x) = \ sum \ limit\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!} (xa) ^ n, wobei f ^ {(n)} (a) ist der Wert der n ^ {th} -Derivat bei x = a.
Beachten Sie, dass der Winkel im Bogenmaß ausgedrückt werden muss.
Sei f (x) = \ tan x und a = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6} Bogenmaß.
\ Rightarrow \ qquad f „(a) = \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} {3} und
\ qquad f „“ (a) = \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}.
Wir möchten den Wert von \ tan 27 ^ o = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} – \ frac {\ pi} {60} \ right) = \ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right).
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa = – \ frac {\ pi} {60}.
Dann erhalten wir nur die ersten beiden Terme der Taylor-Reihe ,
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1 } {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} = 0.507537.
Der Fehler in diesem Wert ist -0.3902 \\%.
Verwenden Sie nur die ersten drei Begriffe von der Taylor-Reihe erhalten wir
\ tan \ left (\ frac {3 \ pi} {20} \ right) = f (a) + (xa) f „(a) + (xa ) ^ 2 \ frac {f „“ (a)} {2!}
\ qquad = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) – \ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left (\ frac {\ pi} {60} \ right) ^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}.
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3} – \ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0,508592.
Der Fehler in diesem Wert ist -0,1831 \\%.
Wenn wir eine höhere Genauigkeit wünschen, können wir mehr Begriffe verwenden.