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37 Grad ist ein so spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, dass das Dreieck ein goldenes Dreieck wird. Erklärung folgt ..
Was wir tun müssen, ist .. Zeichnen Sie ein Liniensegment AB eines beliebigen Maßes, z. B. AB = 8 cm.
Machen Sie nun = 90 Grad & A = 37 Grad Strahlen dieser beiden Winkel treffen sich bei C. Wir erhalten also ein rechtwinkliges Dreieck ABC.
Im obigen Dreieck ist AB = 8 cm. => Mit Hilfe dieser Seite 8 cm. Wir können BC & AC berechnen.
Wir bemerken, dass BC = 6 cm & AC = 10 cm, weil diese 37 Grad dieses Dreieck zu einem goldenen Dreieck machen, indem wir ihm ein besonderes Merkmal geben, das Verhältnis von 3 Seiten davon Dreieck wird 3: 4: 5. Durch diese Hypotenuse = 5x Einheit, Seite gegenüber 37 Grad, dh BC = 3x & Seite gegenüber (53 Grad), dh AB = 4x.
Nun können wir unter Verwendung dieser Verhältnisse alle T-Verhältnisse berechnen wrt 37 Grad
=> tan 37 Grad = 3x / 4x = 0,75. . . . . . . Ans
Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck einer der spitzen Winkel 37 ° oder 53 ° beträgt, beträgt das Verhältnis seiner Seiten 3: 4: 5
Antwort
Was ist der Wert von tan 37 1/2?
Ich gehe davon aus, dass wir in Grad arbeiten.
Aus der zusammengesetzten Winkelformel für die Tangentenfunktion ergibt sich:
tan (75 ^ {\ circ}) = tan (45 ^ {\ circ} + 30 ^ {\ circ}) = \ frac {tan (45 ^ {\ circ}) + tan (30 ^ {\ circ})} {1 – tan (45 ^ {\ circ}) tan (30 ^ {\ circ})}
= \ frac {1 + \ frac {1} {\ sqrt {3}}} {1 – \ frac {1} {\ sqrt {3}}}
Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \ sqrt {3}
= \ frac {\ sqrt {3} + 1} {\ sqrt {3} – 1}
= \ frac {\ sqrt {3} + 1} {\ sqrt {3} – 1} \ times \ frac {\ sqrt {3} + 1} {\ sqrt {3} + 1}
= \ frac {(\ sqrt {3} + 1) ^ 2} {(\ sqrt {3} – 1) (\ sqrt {3} + 1)}
= \ frac {3 + 2 \ sqrt {3} + 1} {3 – 1} = 2 + \ sqrt {3}
Aus der Doppelwinkelformel für die Tangentenfunktion ergibt sich:
tan (75 ^ {\ circ}) = \ frac {2tan (37,5 ^ {\ circ})} {1 – tan ^ 2 (37,5 ^ {\ circ})}
Wenn wir t = \ tan (37,5 ^ {\ circ}) einsetzen und unseren berechneten Wert von \ tan (75 ^ {\ circ}) verwenden, haben wir:
(2 + \ sqrt {3}) = \ frac {2t} {1 – t ^ 2}
Multipliziert man beide Seiten mit – (1 – t ^ 2), so ergibt sich:
(2 + \ sqrt {3 }) t ^ 2 – (2 + \ sqrt {3}) = -2t
Wenn wir beiden Seiten 2t hinzufügen, haben wir:
(2 + \ sqrt {3}) t ^ 2 + 2t – (2 + \ sqrt {3}) = 0
Da dies eine einfache quadratische Gleichung in Bezug auf t ist, verwenden wir die Standardformel zum Finden der Wurzeln:
t = \ frac {-2 \ pm \ sqrt {2 ^ 2 + 4 (2 + \ sqrt {3}) ^ 2}} {2 (2 + \ sqrt {3})}
= \ frac {-2 \ pm \ sqrt {4 + 4 (4 + 4 \ sqrt {3} + 3}} {2 (2 + \ sqrt {3})}
Teilen von Zähler und Nenner durch 2
= \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1 + 7 + 4 \ sqrt {3}}} {2 + \ sqrt {3}}
= \ frac {-1 \ pm 2 \ sqrt {2 + \ sqrt {3}}} {2 + \ sqrt {3}}
Aus unserer Kenntnis der Tangentenfunktion wissen wir dass \ tan (37,5 °) irgendwo im Bereich (0, 1) liegt, was bedeutet, dass wir die negative Wurzel ignorieren können.
Multiplizieren von Zähler und Nenner mit (2 – \ sqrt {3})
= \ frac {-1 + 2 \ sqrt {2 + \ sqrt {3}}} {2 + \ sqrt {3}} \ times \ frac {2 – \ sqrt {3}} {2 – \ sqrt {3}}
= (2 – \ sqrt {3}) \ frac {-1 + 2 \ sqrt {2 + \ sqrt {3}}} {(2 + \ sqrt {3}) ) (2 – \ sqrt {3})}
= (2 – \ sqrt {3}) \ frac {-1 + 2 \ sqrt {2 + \ sqrt {3}}} {4 – 3}
= (2 – \ sqrt {3}) \ left (-1 + 2 \ sqrt {2 + \ sqrt {3}} \ right)
= (2 – \ sqrt {3}) \ left (2 \ sqrt {2 + \ sqrt {3}} – 1 \ right)
\ ca. 0,767327