Beste Antwort
Da viele bereits richtig geantwortet haben, hat der Kosinus der Unendlichkeit keinen Wert. Aber es ist schlimmer. Es ist so schlecht wie es nur sein kann.
Komplexe Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen, einschließlich Cosinus, sind normalerweise Sie werden als Funktionen angesehen, die reelle Zahlen als Argumente verwenden, aber zu komplexen Funktionen erweitert werden können. Sie können dies für Cosinus tun, indem Sie diese Potenzreihendefinition verwenden.
\ cos z = 1- \ frac1 {2!} Z ^ 2 + \ frac1 {4!} Z ^ 4- \ frac1 {6! } z ^ 2 + \ frac1 {8!} z ^ 8- \ cdots \ tag * {}
Dadurch wird der Kosinus auf der gesamten komplexen Ebene definiert \ mathbf C.
By Wenn Sie Funktionen auf komplexe Argumente erweitern, können Sie sie auf eine Weise verstehen, die Sie nicht verstehen können, wenn nur echte Argumente verwendet werden. Das ist die Stärke der komplexen Analyse.
Die erweiterten komplexen Zahlen \ overline {\ mathbf C}
Betrachten Sie die viel einfachere Funktion f (z) = 1 / z. Es ist für alle komplexen Zahlen außer z = 0 definiert. Es scheint einen unendlichen Wert bei z = 0 zu haben, und es gibt eine Möglichkeit, dieses Konzept zu formalisieren. Erweitern Sie die komplexen Zahlen um ein Element, das als \ infty bezeichnet wird, um die sogenannte geschlossene komplexe Ebene oder die Riemann-Kugel \ overline {\ mathbf C} zu erhalten. Damit können Sie 1/0 = \ infty und 1 / \ infty = 0 definieren, so dass diese Funktion f (z) = 1 / z für alle \ overline {\ mathbf C} definiert ist. Tatsächlich gibt es eine Bijektion \ overline {\ mathbf C} \ zu \ overline {\ mathbf C}.
Was passiert, wenn Sie dies mit der Tangentenfunktion \ tan z versuchen? Einige schöne Dinge passieren. Während für reelle Zahlen \ tan \ pi / 2 nicht definiert ist, ist es für \ overline {\ mathbf C} definiert, und tatsächlich ist \ tan \ pi / 2 = \ infty. Die Singularität für \ tan z bei z = \ pi / 2 entspricht der Singularität für 1 / z bei z = 0.
Diese beiden Funktionen 1 / z und \ tan z haben Pole , dh sie nehmen den Wert \ infty an. Die Funktion 1 / z hat einen Pol bei z = 0. Die Funktion \ tan z hat unendlich viele Pole, einen für jeden Wert von z gleich \ pi / 2 plus ein ganzzahliges Vielfaches von \ pi.
Cosinus von \ infty
Es ist Zeit, zu \ cos \ infty zurückzukehren.
Betrachten Sie die Funktion f (z) = \ cos (1 / z). Nach dem Kosinus von \ infty zu fragen ist dasselbe wie nach f (0) zu fragen, da in \ overline {\ mathbf C} 1/0 = \ infty ist. Im Gegensatz zu den oben erwähnten Polen für die Funktionen 1 / z und \ tan z hat diese Funktion eine sogenannte essentielle Singularität. Die Funktion ist willkürlich nahe z = 0 f (z) = \ cos (1 / z) nimmt alle komplexen Zahlen unendlich oft an. Das heißt, \ cos z hat eine wesentliche Singularität bei z = \ infty. Es ist so schlimm wie es nur sein kann.
Antwort
Es ist nichts gleich. Cos (unendlich) ist unbestimmt, da Sinus-Cosinus und -Tangens sowie die Inversen (Sekante, Cosekant und Kotangens) vom Einheitskreis abgeleitet werden.
Cosinus ist die x-Achse und Sinus ist die y-Achse. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der Einheitskreis ist am Ursprung zentriert. Und dieses rechtwinklige Dreieck, das „erstellt“ wird, ist die Länge der Beine, aus der sie abgeleitet werden.
Bei Dingen wie 390 Grad bewegt es sich mehr als einmal, und der Winkel wird so bewertet, als ob es nur so wäre ging von 0 Grad zu dem Punkt, an dem es endete, was weniger als 360 ist. Dies ist im Grunde nur ein Modul.
Der Ausdruck, der dies darstellen kann, ist n mod 360 (oder für die Informatik n\% 360), wobei n ist der Winkel.
Für Infinity Mod 360 kann ich keine Antwort haben, da Infinity ständig ansteigt. so könnte es technisch alles sein. Unendlichkeit ist keine Zahl, sondern ein Konzept. Das Konzept, kein Ende zu haben. Die Verwendung von Unendlichkeit als Zahl hat also nur einen Wert, der in gewissem Sinne immer größer wird. Dies vereinfacht es ein wenig, da es nicht wirklich steigt. Es ist eher so, als würde man annehmen, dass es ein Ende gibt, wenn es kein Ende gibt. Die Liste der Zahlen hat kein Ende. Sein Wert ist grenzenlos. Deshalb verwenden wir Grenzen im Umgang mit Unendlichkeit. Obwohl die Unendlichkeit als Zahl grundsätzlich Grenzen verwendet, können wir nicht sagen, dass 1 / Unendlichkeit Null ist, da der Wert der Unendlichkeit nur ständig steigt und nicht gefragt wird, wohin sie konvergiert. Obwohl es gegen Null konvergiert, wird es niemals Null sein. Der Wert, der Null am nächsten kommt, ist 1 – 0,999…., Obwohl 0,999… gleich 1 sein soll, ist dies nicht der Fall. Logischerweise ist es nicht und es kann nicht sein. Wenn wir das akzeptieren, können wir genauso gut sagen, dass 1 = 2 und jedes n gleich jedem m (n = m) ist.
Zurück zur ursprünglichen Frage, wenn Sie sich ein Diagramm für cos ansehen (x) Sie werden sehen, dass es kontinuierlich von 1 auf -1 auf und ab schwingt. Wenn es also ins Unendliche geht, wird es niemals konvergieren und cos (unendlich) wird immer zwischen 1 und -1 wechseln. Die Auswahl eines Wertes zwischen diesen ist nicht unendlich, da der Wert immer größer wird.
Zusammenfassend ist cos (unendlich) unbestimmt.