Beste Antwort
Um genau zu sein, können Sie die Krümmung eines einzelnen Vektors nicht nehmen. Sie benötigen ein Vektorfeld die Locke, ungefähr so:
Die Locke ist ein Differentialoperator, der ein dreidimensionales Vektorfeld nimmt und ausspuckt ein weiteres dreidimensionales Vektorfeld.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, was die Kräuselung bedeutet, stellen Sie sich vor, wir haben ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit einer Flüssigkeit darstellt. Das heißt, die Flüssigkeit füllt einen Raum aus und die „Geschwindigkeitsfeld“ sagt uns, wie schnell die Flüssigkeit an jedem Punkt in diesem Raum ist. Wenn wir die Krümmung des Geschwindigkeitsfeldes nehmen, erhalten wir ein neues Vektorfeld, das uns grob gesagt sagt, wie sich die Flüssigkeit bei jedem dreht Punkt im Raum. Insbesondere gibt die Größe des Kräuselungsvektors die Stärke der Drehung und die Richtung die Drehrichtung gemäß der Rechtsregel .
In cartesi Bei Koordinaten kann die Locke als Kreuzprodukt des Operators del und des ursprünglichen Felds berechnet werden: \ mathrm {curl} (\ vec {F}) = \ vec {\ nabla} \ times \ vec {F} = ( \ frac {\ partielles F\_z} {\ partielles y} – \ frac {\ partielles F\_y} {\ partielles z}) \ hat {x} + (\ frac {\ partielles F\_x} {\ partielles z} – \ frac {\ partielles F\_z} {\ partielles x}) \ hat {y} + (\ frac {\ partielles F\_y} {\ partielles x} – \ frac {\ partielles F\_x} {\ partielles y}) \ hat {z}
Einer der Hauptgründe, warum die Locke wichtig ist, ist die Helmholtz-Zerlegung . Grundsätzlich ist alles, was Sie brauchen, um ein Vektorfeld vollständig zu charakterisieren, seine Divergenz und Kräuselung. Dies wird beispielsweise in den Maxwell-Gleichungen mit großer Wirkung verwendet, mit denen Sie durch Angabe der Krümmung und Divergenz der elektrischen und magnetischen Felder nach folgenden Feldern suchen können:
Antwort
Unterschiedliche Personen mögen unterschiedliche Analogien / Visualisierungen hilfreich finden, aber hier ist ein möglicher Satz von“ physikalischen Bedeutungen „.
Divergenz: Stellen Sie sich eine Flüssigkeit vor, wobei das Vektorfeld die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an jedem Punkt im Raum darstellt. Die Divergenz misst den Nettofluss der Flüssigkeit aus (dh weicht von einem bestimmten Punkt ab). Wenn stattdessen Flüssigkeit fließt in an diesem Punkt ist die Divergenz negativ.
Ein Punkt oder eine Region mit positiver Divergenz wird oft als“ Quelle „(von Flüssigkeit oder was auch immer) bezeichnet das Feld beschreibt), während ein Punkt oder eine Region mit negativer Divergenz eine „Senke“ ist.
Curl: Gehen wir zurück zu unserer Flüssigkeit, wobei das Vektorfeld die Flüssigkeitsgeschwindigkeit darstellt. Die Locke misst den Grad, in dem sich die Flüssigkeit um einen bestimmten Punkt dreht, wobei Whirlpools und Tornados extreme Beispiele sind.
Stellen Sie sich ein kleines Stück Flüssigkeit vor, das so klein ist, dass die Locke darin mehr oder weniger konstant ist. Sie sind ebenfalls sehr klein geschrumpft und müssen eine Runde um den Umfang dieses Flüssigkeitsstücks schwimmen. Wählen Sie, ob Sie im oder gegen den Uhrzeigersinn schwimmen möchten? Wenn die Krümmung der Geschwindigkeit Null ist, spielt es keine Rolle. Wenn sie jedoch ungleich Null ist, würden Sie in eine Richtung meistens mit der Strom, und in die andere Richtung würden Sie meistens gegen den Strom gehen, und so Ihre Wahl der Richtung wäre wichtig. Das Vorzeichen der Locke zeigt an, welche die richtige Wahl ist.
Farbverlauf: Während es vollkommen gültig ist, den Farbverlauf von zu nehmen Als Vektorfeld ist das Ergebnis ein Tensor vom Rang 2 (wie eine Matrix), und daher ist es schwieriger, dies intuitiv zu erklären (obwohl es vielleicht jemand anderes schafft). Stattdessen werde ich über den Gradienten eines -Skalarfelds sprechen: speziell das Feld, das die Höhe des Bodens über dem Meeresspiegel an einem bestimmten Punkt angibt auf der Erde (z. B. in Bezug auf Breite und Länge angegeben).
In dieser Situation ist der Gradient eigentlich ziemlich einfach: Er zeigt „bergauf“ (in der steilsten Richtung), und die Größe gibt Auskunft Wenn der Gradient beispielsweise mit einer Größe von 0,2 nach Nordosten zeigt, ist die Richtung des steilsten Anstiegs nordöstlich, und jeder Meter, den Sie nach Nordosten fahren, führt zu einem Höhenunterschied von 0,2 Metern.
Für den Gradienten eines Vektorfeldes können Sie sich den Gradienten jeder -Komponente dieses Vektorfelds einzeln vorstellen, von denen jede ein Skalar ist.