Beste Antwort
Wir können uns dem geometrisch nähern. Es gibt drei Lösungen: 1 = 1 / \_0 °; 1 / \_120 ° und 1 / \_240 ° in polarer Form. Wir müssen den Bereich komplexer Zahlen betrachten. (Im Moment kann ich keine Diagramme bereitstellen, daher entschuldige ich mich). Die Verwendung von Stift und Papier beim Lesen dieser Antwort wäre sehr nützlich.
Hinweis: „/ \_“ steht für „Winkel“. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn in Bezug auf die positive reale Achse (positive x-Achse) gemessen. Außerdem entspricht 0 ° 360 °, 720 ° usw. Jeder Winkel & thgr; ist der gleiche wie & thgr; + 360 °.
Geometrisch, wenn wir 1 auf einer komplexen Ebene als 1 + 0i (1,0) darstellen; dies entspricht 1 / \_ 0 ° oder 1 / \_360 ° in polarer Form. Wir könnten einen Einheitskreis mit dem Mittelpunkt am Ursprung 0,0 zeichnen. Wenn wir den Einheitskreis von 360 ° (oder 2π Radiant) in 3 gleiche Teile teilen, erhalten wir die drei erforderlichen Wurzeln.
Die erste Wurzel bei 1 / \_0 ° oder / \_360 °. [Wenn ich 3 vollständige Umdrehungen (360 °) von (1,0) gegen den Uhrzeigersinn mache (dreimal mit sich selbst multiplizieren oder würfeln), komme ich zum gleichen Punkt: 1 / \_0 °. Beachten Sie auch: Wenn ich 3 „keine Umdrehungen“ (0 °) mache. Ich komme auch zum selben Punkt!]
Für die beiden anderen Wurzeln:
- Ab 1 / \_0 °, wenn ich 1/3 mache (ein Drittel oder 120 °) Umdrehung gegen den Uhrzeigersinn (eine multipliziert mit 1 / \_120 °), ich komme zu 1 / \_120 °, was die zweite Wurzel ist. Wenn ich von dort aus zwei weitere 1/3 Umdrehungen mache, komme ich wieder zu 1 / \_360 °, dh 1 / \_ 0 °. (Also habe ich drei 1/3 oder 120 ° Umdrehungen gemacht oder ich habe gewürfelt). Daher ist der Würfel von 1 / \_120 ° auch 1.
- Ausgehend von 1 / \_0 °, wenn ich 2/3 (240 °) Umdrehung mache, komme ich zu 1 / \_240 °, was der ist dritte Wurzel, wenn ich noch 2/3 der Umdrehung mache, komme ich zu 1 / \_480 °, dh zu 1 / \_120 °, und mit noch einer 2/3 Umdrehung komme ich zu 1 / \_720 °, dh zurück zu 1 /. \_0 °. Also habe ich drei 2/3 oder 240 ° Umdrehungen gemacht oder ich habe gewürfelt). Daher ist der Würfel von 1 / \_240 ° auch 1.
Die Wurzeln sind 1 / \_0 °, 1 / \_ (0 + 120) °, 1 / \_ (0 + 120 + 120) ) °. auf dem Einheitskreis gleichmäßig um 120 ° getrennt.
Sie können die Werte in eine rechteckige Form konvertieren und feststellen, dass die Antworten mit denen anderer übereinstimmen.
Im Allgemeinen erhalten Sie die Bei der n-ten Wurzel teilen wir den Einheitskreis in n gleiche Teile oder gleich beabstandete Winkel von 360 / n °, und die Wurzeln liegen an der äußeren Grenze des Kreises. Da also 360/5 = 72 ° ist, sind die 5. Wurzeln der Einheit: 1 / \_0 °, 1 / \_ 72 °, 1 / \_144 °, 1 / \_216 °, 1 / \_288 °.
Antwort
Lassen Sie z wie z ^ 3 = 1
den Schlüsselschritt, nehmen Sie nicht die Kubikwurzel beider Seiten, sonst werden Sie 2 Wurzeln verpassen. Schreiben Sie die Gleichung lieber wie folgt um:
z ^ 3–1 = 0
Faktor linke Seite
(z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0
z-1 = 0, z = 1
z ^ 2 + z + 1 = 0 hat 2 komplexe Wurzeln:
z = -0,5 + i * 0,5 m² (3), z = -0,5-i · 0,5 m² (3)