Beste Antwort
Die Hauptwürfelwurzel von -216 ist nicht -6
Die Hauptwürfelwurzel von -216 ist 3 + 3i (sqrt (3)) wobei i ^ 2 = -1
Um die Kubikwurzeln von -216 zu finden, sei x ^ 3 = -216
Dann x ^ 3 + 216 = 0, was unter Verwendung der Faktorisierung von Würfeln berücksichtigt werden kann, da 216 = 6 ^ 3
(a ^ 3-b ^ 3) = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) )
(a ^ 3 + b ^ 3) = (a + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2)
(x ^ 3 + 6 ^ 3) = (x + 6) (x ^ 2–6x + 36) = 0
Um beide Teile zu lösen, setzen Sie beide Teile gleich Null, da wenn eins Null ist, null mal alles Null ist
(x + 6) = 0, x = 6
(x ^ 2-6x + 36) = 0, was durch Ausfüllen des Quadrats
(x ^ 2-6x) gelöst werden kann + c) = – 36 + c wobei c die Konstante ist. c = (b / 2) ^ 2 und b ist 6, also ist c = 3 ^ 2 = 9
(x ^ 2–6x + 9) = –27, (x ^ 2–6x + 9) Faktoren in (x-3) (x-3) = (x-3) ^ 2
(x-3) ^ 2 = -27, (x-3) = sqrt (-27), x = 3 + sqrt (-27), x = 3 – sqrt (-27)
sqrt (-27) = (sqrt (-1x9x3)) = sqrt (-1) xsqrt (9) xsqrt (3) = 3i (sqrt (3))
x = 3 + 3i (sqrt (3), x = 3–3i (sqrt (3))
Also der Würfel Wurzeln von -216 sind -6, 3 + 3i (sqrt (3)), 3–3i (sqrt (3))
Wenn Sie eine Wurzel der Zahl finden, ist die Hauptwurzel die Wurzel, die am nächsten liegt die positive reelle Achse in der komplexen Ebene. Wenn zwei Wurzeln gleich weit von der positiven reellen Achse entfernt und am nächsten sind, ist die Wurzel mit der positiven imaginären Komponente die Hauptwurzel. Da 3 + 3i (sqrt (3)) und 3–3i ( sqrt (3)) liegen näher an der positiven reellen Achse als -6 und sind gleich weit entfernt. Die Hauptlösung ist 3 + 3i (sqrt (3)), unabhängig davon, ob -6 eine reelle Lösung ist.
Die Hauptwürfelwurzel von -216 ist 3 + 3i (sqrt (3))
Antwort
Zu „Was ist \ sqrt {216} vereinfacht?“, wäre meine primäre Antwort: \ sqrt {216} ist bereits so „einfach“ wie Sie ca. n mach es. Es ist „die irrationale Zahl, die im Quadrat die ganze Zahl 216 ergibt“. Viel einfacher kann man nicht sein.
Nun, einige könnten anderer Meinung sein und sagen, man könnte \ sqrt {216} „vereinfachen“, indem man 216 in seine Hauptfaktoren einbezieht. Das würde Ihnen Folgendes geben: \ sqrt {216} \\ = \ sqrt {(2) (2) (2) (3) (3) (3)} \\ = 6 \ sqrt {2} \ sqrt {3} \ \ = 6 \ sqrt {6} Aber sind diese beiden letzten Formen tatsächlich „einfacher“? Die Zahlen sind kleiner, aber konzeptionell sind diese Ausdrücke meiner Meinung nach tatsächlich komplexer.
Meine Antwort lautet also: \ sqrt {216} vereinfacht ist \ sqrt {216}