Beste Antwort
x ^ 3 = -8
x ^ 3 + 8 = 0
(x + 2) (x ^ 2-2x + 4) = 0
Für x + 2 = 0 gilt x = -2
Für x ^ 2-2x + 4 = 0, wir müssen es mit der quadratischen Formel lösen:
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 4}} {2 \ cdot 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {4 – 16}} {2}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {-12}} {2}
x = \ frac {2 ± 2 \ sqrt {-3}} {2}
x = 1 ± \ sqrt {- 3}
Wir erhalten die Lösung x = 1 + i \ sqrt {3} und x = 1 – i \ sqrt {3}
Wenn wir über reelle Zahlen sprechen, -8 hat eine Kubikwurzel: -2
Wenn wir über komplexe Zahlen sprechen, hat -8 drei Kubikwurzeln: -2, 1 + i \ sqrt {3} und 1 – i \ sqrt { 3}
Antwort
Sie geben nicht an, ob Sie die Antwort in einem realen oder einem komplexen Kontext wünschen. Es gibt eine echte Wurzel und ein Paar komplexer konjugierter Wurzeln. Sie geben „Kubikwurzel“ in Singularform an. Daher erscheint es naheliegend, den Fall eines realen Kontexts mit seiner einen realen Wurzel und separat den Fall der Hauptwurzel in einem komplexen Kontext zu betrachten.
In einem realen Kontext ist die Kubikwurzel von –8 −2.
In einem komplexen Kontext ist die Hauptwürfelwurzel von −8 1 + i \ sqrt {3}. Dies mag seltsam erscheinen, dass die in einem realen Kontext ausgewählte Wurzel nicht auch in einem komplexen Kontext ausgewählt wird, obwohl die reale Wurzel verfügbar ist. Die Hauptwurzel in einem komplexen Kontext ist jedoch diejenige, die der positiven realen Achse am nächsten kommt, und wenn zwei gleich sind, nehmen Sie die mit dem positiven Imaginärteil. Die Kubikwurzel ist keine stetige Funktion in der komplexen Ebene – es gibt einen Ast, der entlang der negativen realen Achse geschnitten ist.