Beste Antwort
Die Kubikwurzel von 9 ist 2,083 ca.
Schritt 1 : Zuerst integralen Teil finden Die Antwort liegt zwischen 2 und 3, weil 9 zwischen 8 liegt (2 ^ 3) und 27 (3 ^ 3) Der integrale Teil ist also 2 Schritt 2: Teilen Sie 9 durch das Quadrat des integralen Teils ( 2 ^ 2 = 4 ), gibt Ihnen 2.25, Subtrahieren Sie nun den Integralteil ( 2 ) von 2.25 , Dies ist 0,25 Jetzt dividieren Sie dies durch 3, ( 0,25 / 3 = 0,08333…) Schritt 3: Fügen Sie dies zum integralen Teil 2 + 0,083… = 2,083 ca.
hinzu tatsächliche Antwort für ∛9 = 2.08008382305 ( entnommen aus Googel )
Antwort
Die gestellte Frage lautet: Was ist die Kubikwurzel von −27? ”
Das Poster ist nicht enthalten in der Frage, was ist der Kontext. Bei der Erörterung von Potenzfunktionen, die Wurzeln sind, wie dies bei vielen anderen Funktionen der Fall ist, wird die Funktion ohne Angabe der Domäne und der Codomäne der Funktion nicht vollständig definiert oder ausgedrückt. (Ja, im Gegensatz zu dem, was für den Algebra-Schüler der Sekundarstufe üblich ist, um die Domäne einer Funktion zu finden, die wirklich die maximale -Domäne in der Domäne finden soll Kontext von reellen Zahlen , die Definition und Verwendung einer Funktion ist nicht vollständig [und oft, wie hier, völlig unzureichend], ohne die beabsichtigte Domäne anzugeben (welche Werte die Funktion wird angewendet auf), die Codomäne (welche Werte die Funktion erzeugen darf) und die Beziehung, wie von Elementen der Domäne zu Elementen der Codomäne übergegangen werden soll. Wir werden in Kürze sehen, warum diese wichtig sind.
Beachten Sie, dass eine singuläre Nomenform ( root anstelle von root ) und entsprechend Singular Verbform ( ist anstelle von sind ) wurde in der geposteten Frage verwendet sind drei komplexe Zahlen, von denen eine ist real, dessen Würfel −27 ist. Wenn das Poster möchte, dass die Domäne und die Codomäne R (reelle Zahlen) sind, gibt es nur eine Wahl. Wenn das Poster möchte, dass die Domäne und die Codomäne C (komplexe Zahlen) sind, gibt es drei Möglichkeiten, von denen das Poster anscheinend eine wünscht, die wir dann annehmen würden Um die Hauptwürfelwurzel zu sein.
Lassen Sie uns zunächst untersuchen, ob R die Domäne und Codomäne ist. Wenn wir die Funktion definieren: f : R → R , so dass f ( x ) = x ³, dann werden unterschiedliche Werte von x unterschiedlichen Werten von f ( x ) [dh unterschiedliche Werte von x ³], was bedeutet, dass f injektiv ist. Zusätzlich gibt es für jede reelle Zahl y eine reelle Zahl x , so dass x ³ = y , was f bedeutet ist surjektiv. Da f sowohl injektiv als auch surjektiv ist, ist f bijektiv und invertierbar. Die Kubikwurzelfunktionszuordnung R → R ist die Umkehrung von f (mit f wird manchmal als Cube-Funktion in bezeichnet R ). Aufgrund der Bijektivität wissen wir, dass die Kubikwurzel einzigartig ist. Es gibt nur einen Wert, dessen Würfel –27 ist und dessen Zahl –3 ist. Daher ist der einzige Wert, der die Kubikwurzel von –27 sein kann, –3.
Zweitens untersuchen wir, ob C as ist die Domäne und Codomäne. Wenn wir die Funktion definieren: f : C → C , so dass f ( x ) = x ³, es ist nicht mehr wahr, dass f injektiv ist.Für alle y ungleich Null gibt es drei Werte von x , die y . Beispiel: f (–2) = f (1 + i√3) = f (1 – i√3) = –8. Da f nicht injektiv ist, spielt es keine Rolle, dass f surjektiv ist und f ist weder bijektiv noch invertierbar. Mathematiker haben jedoch ein etwas willkürliches, aber einfaches und konsistentes Kriterium entwickelt, um zu bestimmen, welche der drei Auswahlmöglichkeiten die Hauptwürfelwurzel einer komplexen Zahl darstellt, und das ist der Wert, der beabsichtigt ist, wenn wir „ die Kubikwurzel von ”[Singularform]. Der Prozess ist: * Welche der drei Möglichkeiten hat den größten realen Anteil? Wenn die Antwort einen eindeutigen Wert ergibt [es werden ein oder zwei Werte ausgegeben], ist dieser Wert die Kubikwurzel. * Wenn die Antwort auf die erste Frage nicht eindeutig ist, nehmen wir, welcher der beiden in der ersten Frage erhaltenen Werte einen positiven Imaginärteil hat. Für −27 stehen drei Optionen zur Auswahl: −3, 1.5 + 1.5i√3 und 1.5 – 1.5i√3. Es gibt zwei Werte, die die Rolle des größten Realteils teilen: 1,5 + 1,5i√3 und 1,5 – 1,5i√3. Derjenige mit dem positiven Imaginärteil ist 1,5 + 1,5i√3, das ist also die Hauptwürfelwurzel von –27 in der komplexen Domäne.
Jetzt sehen wir, wie wichtig es ist, die Domäne anzugeben, weil wir am Ende waren mit zwei verschiedenen Antworten, eine für jede von zwei Domänen: Die Kubikwurzel von –27 in der realen Domäne ist –3. Die Kubikwurzel von −27 in der komplexen Domäne beträgt 1,5 + 1,5i√3. Scheint das seltsam? Ist nicht R ⊂ C , so ist die reelle Zahl −27 nicht dieselbe wie die komplexe Zahl −27? Warum sollte dieselbe Nummer nicht dieselbe Kubikwurzel haben? In der komplexen Ebene können seltsame Dinge passieren, die wir nicht einmal realisieren (bis wir einen komplexen Analysekurs haben), aber tatsächlich Auswirkungen haben, selbst wenn wir uns auf reelle Zahlen konzentrieren (die Konvergenz von Potenzreihen für reelle Wertfunktionen wird durch die beeinflusst Lage der Singularitäten in der komplexen Ebene) der komplexen Erweiterung der Funktion. Die Kubikwurzelfunktion in Verbindung mit der Logarithmusfunktion ln in der komplexen Ebene hat einen sogenannten Verzweigungsschnitt, der Verzweigungspunkte bei 0 und „unendlich“ verbindet, und der Verzweigungsschnitt verläuft herkömmlicherweise entlang der negativen reellen Achse (wir wollen nicht lustiges Verhalten entlang der positiven realen Achse haben und keine Asymmetrie zwischen der positiven imaginären Halbebene und der negativen imaginären Halbebene wollen). Ein Schlüsselverhalten von Verzweigungsschnitten ist eine Diskontinuität – der Wert einer Funktion mit einem Verzweigungsschnitt hat einen eindeutigen Übergang beim Verzweigungsschnitt, sodass der Wert nur auf einer Seite des Verzweigungsschnitts und der Wert nur auf der anderen Seite des Verzweigungsschnitts liegt Astschnitt nähern sich nicht an, da sich die beiden Punkte nähern. Überall sonst kann die Funktion kontinuierlich sein. Nehmen wir zum Beispiel einen Kreis mit dem Radius 27, der in der komplexen Ebene bei 0 zentriert ist. Bei dem Wert 27 wird die Hauptwürfelwurzel als 3 angesehen. Folgen Sie dem Kreis gegen den Uhrzeigersinn (durch die positive imaginäre Halbebene) bis –27, und die Kubikwurzel ändert sich glatt und kontinuierlich und erreicht 1,5 + 1,5i √3 bei −27. Wenn Sie stattdessen bei 27 beginnen und dem Kreis im Uhrzeigersinn folgen (durch die negative imaginäre Halbebene), ändert sich die Kubikwurzel wieder kontinuierlich, bis Sie bei –27 1,5 – 1,5i√3 erreichen. Die beiden Grenzen, die sich von gegenüberliegenden Seiten des Astschnitts demselben Punkt nähern, unterscheiden sich um 3i√3, was nicht 0 ist. Somit ist die Grenze der Kubikwurzel von x Funktion bei −27 hängt vom Weg in Richtung −27 ab, daher existiert die Grenze nicht und die Funktion kann dort nicht stetig sein. Beachten Sie, dass keine der beiden Grenzen –3 ist, der Wert der Kubikwurzel von –27 für die Domäne R .
Infolgedessen gibt es Einige Mathematiker (nach meiner begrenzten Erfahrung meistens Deutsche), die eine solche Nichtübereinstimmung nicht ertragen können, sehen die Kubikwurzel aller negativen Zahlen im Kontext der Domäne als undefiniert an R . Die meisten Mathematiker möchten die Kubikwurzel einer negativen Zahl nicht als undefiniert im Kontext der Domäne R bezeichnen, da dies das Konzept einer invertierbaren Bijektion und der Die Umkehrfunktion wird in der vollständigen Codomäne der ursprünglichen Funktion definiert, zuzüglich der reellen Zahlen mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division außer durch 0, und Potenzen mit ganzzahligen Exponenten verhalten sich gut und wie erwartet, wenn sie in C . Viele Dinge brechen zusammen, wenn Potenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten beteiligt sind.Einschränkungen der Potenzgesetze werden angewendet, denn wenn Sie versuchen, sie mit nicht ganzzahligen Exponenten und entweder imaginären oder negativen realen Basen anzuwenden, erhalten Sie trügerische Ergebnisse. Viele Quora-Fragen betreffen solche Probleme. Seien Sie nicht überrascht über das Vorhandensein dieser Probleme.