Beste Antwort
Wie Sie in anderen Antworten erfahren haben, ist √243 9√3.
3 ^ 5 = 3 ^ 4 • 3 = (3 ^ 2) ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • 3 = 9 ^ 2 • (√3) ^ 2 = (9√3) ^ 2
Die Zahl im Quadrat entspricht also 243 und ist die irrationale Zahl, die ich gerne als 9√3 schreibe. Das nenne ich „vereinfacht“ oder „einfachste Form“.
Wenn ich eine Quadratwurzel (oder eine Kubikwurzel oder …) vereinfachen möchte, finde ich zunächst die „Primfaktorisierung“. der Zahl unter der Wurzel.
Für die Primfaktorisierung einer Zahl beginne ich mit der seriellen Division durch Primzahlteiler, bis das Endergebnis 1 ist. Offensichtlich ist die Zahl das Produkt aller Zahlen I. geteilt durch.
Wenn ich mir 243 ansehe, stelle ich fest, dass es sich um eine ungerade Zahl handelt.
Da es nicht gerade ist, werde ich es auch nicht durch die kleinste Primzahl teilen: 2
Die nächstkleinere Primzahl ist 3, und mir ist klar, dass 243 durch 3 (und auch durch 9) teilbar ist, weil die Summe ihrer Ziffern ein Vielfaches von 3 und 9 ist.
243 ÷ 3 = 81, also 243 = 81 * 3.
An diesem Punkt erkenne ich 81 als 9 • 9 oder als 3 • 3 • 3 • 3 = 3 ^ 4 und weiß, dass 243 = 81 • 3 = 3 ^ 4 • 3 = 3 ^ 5.
Wenn ich eine andere Nummer als 243 benötigen würde oder wenn ich jemandem meine Arbeit „zeigen“ müsste, der darauf besteht, dass ich es tue ,
Ich würde weiterhin durch 3 teilen Ich könnte ein ganzzahliges Ergebnis erhalten und dann weiter durch jede funktionierende Primzahl dividieren, indem ich 3, 5, 7, 11, 13, 19 versuche, bis ich zu einer Primzahl komme, die im Quadrat mehr ist als die Zahl, die ich versuche zu teilen. Wenn ich zum Beispiel von Anfang an oder nach einigen Teilungen etwas finden muss, das 101 teilt, nachdem ich 2, 3, 5 und 7 versucht habe und festgestellt habe, dass keiner von beiden 101 teilt, würde ich sehen, dass 101 im Quadrat 121 ist Da dieses Quadrat größer als 101 ist, würde ich nicht versuchen, durch 11, 13 oder 19 zu teilen. Ich würde daraus schließen, dass die einzige Primzahl, die es teilt, 101 ist, 101 durch 101 teilt und fertig ist.
Antwort
Die Quadratwurzel von 243 ist die nicht negative Zahl, die im Quadrat 243 ergibt. Das ist es aus der Definition der Quadratwurzel. (Symbolisch sagen wir, dass \ sqrt {a} die nicht negative Zahl x ist, die x ^ 2 = a erfüllt.)
Sie ist etwas größer als 15 (deren Quadrat 225 ist) und etwas kleiner als 16 (dessen Quadrat 256 ist).
Die Faktorisierung von 243, wie in Bijay Shahs Antwort auf diese Frage durchgeführt, ergibt 243 = 3 ^ 5, also \ sqrt {243} = 3 ^ \ frac52 = 9 \ sqrt {3}. Da \ sqrt {3} \ ca. 1,7, stimmt dies mit dem überein, was wir oben gesehen haben.
Da 243 nicht einmal in den Potenzen aller seiner Primfaktoren liegt, Die Quadratwurzel ist irrational, sodass keine endliche Dezimaldarstellung der Quadratwurzel existiert. Es ist hilfreich zu wissen, dass eine Zahl nicht die Dezimaldarstellung ist. Die Darstellung von Zahlen ist normalerweise nicht eindeutig.