Beste Antwort
Es ist schwierig, eine auszuwählen, daher überlasse ich Ihnen die Auswahl 🙂
- Eulers Identität
Die Gleichung kombiniert fünf der wichtigsten Zahlen in der Mathematik Dies sind:
- 1 – die Basis aller anderen Zahlen
- 0 – das Konzept des Nichts
- pi – die Zahl, die einen Kreis definiert
- e – die Zahl, die dem exponentiellen Wachstum zugrunde liegt
- i – die „imaginäre“ Quadratwurzel von -1
2. Einsteins Feldgleichung ( Zusammenfassung der zehn Gleichungen)
Der Physiker John Wheeler fasste es kurz zusammen: „Raum-Zeit sagt Materie, wie man sich bewegt ; Materie sagt Raum-Zeit, wie man sich krümmt. „
Einsteins Gleichung kann uns sagen, wie sich unser Universum im Laufe der Zeit verändert hat, und bietet Einblicke in den frühesten Moment s der Schöpfung. Es ist keine Überraschung, dass es der Favorit vieler Wissenschaftler ist.
3. Wellengleichung
Die Wellengleichung beschreibt, wie sich Wellen ausbreiten. Es gilt für alle Arten von Wellen, von Wasserwellen über Schall und Vibrationen bis hin zu Licht- und Radiowellen.
Es ist ein Aushängeschild für die Idee, dass sich mathematische Prinzipien in einem Bereich oder für ihren eigenen entwickelt haben Sake, kann wichtige Anwendungen in anderen Bereichen haben. Seine Schönheit beruht auf der Kombination dieser Attribute: Eleganz, Überraschung, intellektuelle Tiefe, Nützlichkeit.
4. Die logistische Karte
Die logistische Karte ist eines der klassischen Beispiele der Chaostheorie.
Es kann wie folgt zusammengefasst werden: Eine große Komplexität kann sich aus sehr einfachen Regeln ergeben.
Die Gleichung kann verwendet werden, um viele natürliche Prozesse zu modellieren, beispielsweise wie eine Tierpopulation im Laufe der Zeit wächst und schrumpft.
Wie sich die Bevölkerung verhält, reagiert auf kontraintuitive Weise enorm empfindlich auf den Wert von r. Wenn r zwischen 0 und 1 liegt, stirbt die Bevölkerung immer, aber wenn es zwischen 1 und 3 liegt, nähert sich die Bevölkerung einem festen Wert – und wenn er über 3,56995 liegt, wird die Bevölkerung völlig unvorhersehbar.
Diese Verhaltensweisen werden von Mathematikern als „chaotisch“ beschrieben und sind nicht das, was wir instinktiv erwarten würden. Aber sie alle gehen aus einer Gleichung hervor, die mathematisch recht einfach ist.
Das ist es jetzt.
Wenn Sie denken, dass ich eine Gleichung verpasst habe, sagen Sie mir bitte, ich “ Ich füge es in die Antwort ein 🙂
Antwort
Ich sehe viele grundlegende Berechnungsprobleme mit PEMDAS, die hier veröffentlicht werden, aber das ist elementare Mathematik, da bin ich mir sicher 99\% der Leute, die denken, dass sie wirklich gut in Mathe sind, können richtig werden. Ich habe auch Bob Hocks Gleichung bemerkt, die sehr kreativ ist, aber ich glaube nicht, dass es so schwer zu beweisen ist.
Das Problem, das ich hier poste, ist das 2006 AIME II Problem 15, das sieht sehr kompliziert aus, zerfällt aber durch eine kreative Beziehung in etwas ganz Einfaches:
Vorausgesetzt, x, y und z sind reelle Zahlen, die
x = \ sqrt {y ^ erfüllen 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
und das x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, wobei m und n positive ganze Zahlen sind und n ist Nicht durch das Quadrat einer Primzahl teilbar, finde m + n
Auf den ersten Blick lösen wir ein Algebra-Problem, in dem wir die Summe finden müssen. Ein erster Gedanke könnte sein, die Gleichungen zu quadrieren, um die Quadratwurzeln bis zu einem gewissen Grad loszuwerden, aber eine solche Methode ist eindeutig chaotisch.
Wir bemerken, dass wir nicht für jedes von x, y lösen müssen , z getrennt und benötigen nur ihre Summe, könnten wir die drei gegebenen Gleichungen addieren, die
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} ergibt. + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
Wir haben was wir haben Bedarf auf der einen Seite, aber die andere Seite sieht nicht so aus, als würde sich etwas aufheben, daher scheint dies nicht richtig zu sein.
Eine dritte Idee wäre, den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzeln unter Verwendung der Differenz der Quadrate zu faktorisieren da die angegebenen Brüche alle perfekte Quadrate sind. Dies ergibt
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
usw., aber trotzdem gibt es keinen klaren Weg die Faktoren auf irgendeine nützliche Weise zu manipulieren. Kurz gesagt, wir können versuchen, jeweils eine Variable zu lösen, aber es gibt keinen klaren Weg, dies zu tun.
Es stellt sich heraus, dass die beste Lösung für dieses Problem darin besteht, geometrisch zu denken. Der Satz von Pythagorean besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Beinen a, b und der Hypotenuse c a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ist. Wir können dies manipulieren, um a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2} zu erhalten. Dies ist genau die Form der Terme auf der rechten Seite der Gleichungen.
Wenn wir mit dieser Erkenntnis ein Dreieck entsprechend zeichnen, können wir aus der ersten Gleichung zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Höhe \ frac {1} {4} und mit der Hypotenuse y und z bilden. x ist gleich der Summe der dritten Länge jedes rechtwinkligen Dreiecks. Wenn die Höhe der rechtwinkligen Dreiecke das gleiche Liniensegment der Länge \ frac {1} {4} ist, bilden wir ein größeres Dreieck mit den Seitenlängen x, y, z und der Höhe von \ frac {1} {4} auf der x-Seite.
Wenn wir mit der gleichen Idee für die zweite und dritte Gleichung fortfahren, erhalten wir, dass die Höhe des Dreiecks auf der y- und z-Seite \ frac {1} {5} und \ frac ist {1} {6}. Aus der Flächengleichung eines Dreiecks können wir
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z erhalten } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {und} y = \ frac {5} {6} z
Außerdem nach Herons Formel erhalten wir
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
Ersetzt man z durch die anderen Bereichsformeln, so vereinfacht sich dies zu
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
Somit ist
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
also m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}