Beste Antwort
Für diese Frage gibt es zwei Antworten.
- -1/12
- Unendlichkeit
Es ist klar, dass \ sum \ limit\_ {n \ in \ mathbb {R}} n divergiert. Aber warum antworten dann einige Leute -1/12? Weil beide richtig sind.
Dies ist eines der einfachsten Beispiele für ein Konzept, das für das Verständnis physikalischer Theorien und die Regularisierung von entscheidender Bedeutung ist. Die scheinbar absurde Zahl -1/12 enthält eine physikalische Interpretation in der sogenannten Casimir-Energie.
Wenn wir versuchen, physikalische Größen in Quantentheorien zu berechnen, werden wir oft unendlich. An diesem Punkt können wir die Antwort einfach wegwerfen, aber das würde uns nirgendwohin führen. Alternativ können wir versuchen, daraus einen Sinn zu machen. Dazu versuchen wir, eine endliche Antwort aus der Unendlichkeit zu extrahieren. Dieser Vorgang wird als Regularisierung bezeichnet. Es gibt viele Möglichkeiten, eine divergierende Reihe (oder ein Integral) systematisch zu regulieren, aber der wichtige Punkt ist, dass alle diese Methoden das gleiche endliche Ergebnis liefern würden. Insbesondere würde die obige Summe immer -1/12 ergeben. Dies an sich legt nahe, dass -1/12 nicht völlig absurd ist.
Die folgende Diskussion leitet sich hauptsächlich aus Abschnitt 4.1 von Birrel und Davies – Quantenfelder im gekrümmten Raum ab. Ich werde den Kern der Diskussion vorstellen.
Nehmen wir an, wir betrachten ein masseloses Skalarfeld in zwei Dimensionen (eine Zeitrichtung und ein Raum). Ein masseloses Skalarfeld ist dem elektromagnetischen Feld sehr ähnlich, aber viel einfacher. Beschränken wir auch das Skalarfeld auf einen Kreis des Umfangs L. Nun haben wir ein Quantensystem definiert und können versuchen, verschiedene Größen zu berechnen, einschließlich der minimalen / Grundzustandsenergie dieses Systems. Die Grundzustandsenergie stellt sich als E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ border\_ {n \ in \ mathbb {R}} n heraus.
Nun können wir dieses Integral regulieren und erhalten E\_L = – \ pi / (6L ^ 2). Der wichtige Punkt ist, dass dies genau das ist, was wir erhalten, wenn wir versuchen, die Differenz zwischen der Grundzustandsenergie dieses Systems und einem anderen ähnlichen System zu berechnen, bei dem das Skalarfeld auf eine Linie unendlicher Länge beschränkt ist (die im Wesentlichen den Umfang von einnimmt der Kreis soll unendlich sein). Diese regulierte Energie ist eindeutig eine physikalische Größe und kann tatsächlich im Labor gemessen werden.
Wir schließen daraus, dass die Aussage \ sum \ border\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 ist ist nicht ungültig.
Bearbeiten:
Im Folgenden finden Sie eine Möglichkeit, die Summe zu regulieren.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ bis 0} – \ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {- \ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {- \ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {- \ alpha} \ right) ^ 2}
Die oben angegebene Grenze weicht erwartungsgemäß ab , kann aber wie folgt geschrieben werden:
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ bis 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2} – \ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
Auf diese Weise erhalten wir einen regulierten endlichen Teil aus der divergierenden Summation. Die Art und Weise, die Summe zu regulieren, ist keineswegs eindeutig, aber der endliche Teil der Summe ist immer -1/12.
Antwort
Was meinen wir mit „ist“ oder „Gleichberechtigung“? Das ist die Frage, die der Verwirrung über die Summe aller natürlichen Zahlen zugrunde liegt.
Endliche Summen
Wir ziehen an „Ich habe kein Problem mit endlichen Summen:
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
ist perfekt definiert für jede Sequenz von a\_i \ in \ mathbb R. Dank der Kommutativität und Assoziativität der Addition hängt es nicht einmal davon ab die Reihenfolge des a\_i: Sie können die Sequenz in einer beliebigen Permutation mischen, ohne das Ergebnis zu beeinflussen.
Unendliche Reihe
Wenn wir jedoch zu unendlichen Folgen kommen (a\_i), was bedeutet die unendliche Summe überhaupt? Was ist ?
Das einfachste, sicherste und Standard Bedeutung ist eine Grenze endlicher Summen. Das ist die Definition einer unendlichen Summe ist
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
Wenn diese Serie absolut konvergiert ist alles in Ordnung und gut. Sie können:
- sich auf das Ergebnis verlassen;
- die Reihenfolge der Begriffe mischen;
- zwei solcher Reihen addieren oder subtrahieren; und sogar
- die Reihenfolge von zwei verschachtelten Summierungen ändern.
Aber wenn die Reihe divergent ist oder nur bedingt konvergent der Wert:
- existiert möglicherweise nicht;
- kann von der Reihenfolge abhängen; oder
- erfordert möglicherweise ausgefallene Methoden, um
zu definieren, und Sie können weder Begriffe von manipulieren Die Sequenz noch addiert / subtrahiert zwei solche Sequenzen.
Dies ist der Fall bei der Summe der natürlichen Zahlen, wobei
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
Dies weicht deutlich von + \ infty als n \ bis \ infty ab, sodass der Standardstandardwert nicht vorhanden ist. Und das ist so weit, wie die meisten Leute gehen sollten.
Ausgefallene Methoden
Wenn Sie dies nicht vollständig tun, sogar Verstehen Sie genau die genaue Bedeutung von allem, was Sie oben tun sollten. gehen Sie nicht zu „ausgefallenen Methoden“ über. Ebenso sollten Sie jeden behandeln, der nicht absolut konvergente Sequenzen so manipuliert, als würden sie durch Null geteilt: Die Ergebnisse sind genauso zuverlässig.
Es gibt eine absolut respektable unendliche Reihe namens Dirichlet-Serie :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
Wenn die (a\_n) begrenzt sind, konvergiert diese Reihe absolut für jedes s \ in \ mathbb C, dessen Realteil streng größer als eins ist, \ Re (s)> 1. Für \ Re (s) \ leq1 befinden wir uns auf weniger festem Boden…
Analytische Fortsetzung
Seit f ( s) ist eine Analysefunktion , die auf der offenen Halbebene mit \ Re (s)> 1 definiert ist und eine im Wesentlichen eindeutige analytische Fortsetzung zum Rest der komplexen Ebene. Die Fortsetzung, wenn alle a\_n eins sind, f\_1 (s), ist die Riemann-Zeta-Funktion :
\ quad \ displaystyle \ zeta (s) ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
wobei \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {- x} \ text {d} x ist die Gamma-Funktion , eine analytische Erweiterung der Fakultätsfunktion.
Für \ Re (s)> 1 ist \ zeta (s) = f\_1 (s).
Für s = -1:
- \ zeta (-1) = – \ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb konvergiert nicht
Wenn Sie jetzt etwas tun möchten, das als Regularisierung der Zeta-Funktion bezeichnet wird, könnte
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) = – \ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
behaupten
aber beachten Sie, dass Sie damit herumspielen, was „Gleichheit“ bedeutet und was eine Summierung „ist“.
Das ist alles in Ordnung, aber wenn Sie so weit gekommen sind, werden Sie bemerkt haben, wie viel Sie brauchen weiß zu verstehen, was du tust. Viel mehr, als Sie normalerweise in einem Numberphile-Video sehen…